随机变量(向量)及其概率分布

第二章随机变量（向量）及其概率分布随机变量与随机变量分布函数随机变量的概率函数与随机变量的概率密度函数几个常用的概率分布随机向量与随机向量的分布函数随机向量的概率函数与随机向量的概率密度函数边际分布与条件分布随机变量的独立性随机变量函数的分布概率论随机变量与随机变量分布函数一、随机变量为了更有效地研究随机现象的规律，需要引入微积分作为工具，这就需要用变量的形式来表达随机现象。先考察下列两个随机试验的例子例2.1某人抛掷一枚色子，观察出现的点数。试验结果的事件表达形式：出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点。如果令表示出现的点数，则的可能取值为于是，试验结果的变量表示为：“出现1点”；“出现2点”“出现3点”；“出现4点”“出现5点”；“出现6点”例2.2某人掷硬币试验，观察落地以后出现在上面的面。试验结果的事件表达形式：XX6,5,4,3,2,11X2X3X4X5X6X国徽面在上面；有字面在上面如果表示国徽面在上面，表示有字面在上面。则试验结果的变量表示为：“国徽面在上面”；“有字面在上面”特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关系。1.Def设随机试验的样本空间为，如果对于每一个样本点，均有唯一的实数与之对应，称为样本空间上的随机变量。随机变量的三个特征:1）它是一个变量；2）它的取值随试验结果而改变；3）随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件。设为一个随机变量，对于任意实数，则集合是随机事件，随着变化，事件也会变化。这说明该事件是实变量的“函数”。1X0X1X0XE)(X)(XXxxXxxXx2.随机变量举例与分类随机变量实例：例2.3某人抛掷一枚骰子，观察出现的点数。的可能取值为。例2.4某个灯泡的使用寿命。的可能取值为。例2.5一部电话总机在一分钟内收到的呼叫次数。的可能取值为。例2.6在区间上随机移动的点，该点的坐标。的可能取值为。XX6,5,4,3,2,1XX,0XX,,,1,0n]1,0[XX]1,0[随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量连续型非连续型有限或无穷可列取值无穷且不可列取值二、分布函数1.随机变量的概率分布Def能反映随机变量取值规律的数学表达式称为随机变量的概率分布律，简称概率分布。概率分布的常用表达方式有：分布函数（“通用型”）；概率函数或概率密度函数（“针对型”）。2.分布函数概念Def设为随机变量，为任意实数，则称为随机变量的分布函数，其定义域为。显然，分布函数是一个特殊的随机事件的概率。3.分布函数的性质（1）对于任意有（非负有界性）；（2）（规范性）；（3）对于任意有（单调性）；（4）在每一点至少是右连续的（连续性）。XxxXPxF)(Xx1)(0xF0)(lim1)(limxFxFxx21xx)()(21xFxF)(xF是一个实函数！)(xF),(若已知随机变量的分布函数，则对于任意有例2.7已知随机变量的所有可能取值为，取各值的概率分别为，试求随机变量的分布函数并作其图像。解：由题设随机变量的概率分布为由分布函数的定义有当时，；当时，；当时，；当时，。分布函数图像如图2.1所示X)(xFba,)()(aFbFbXaPX2,1,03.0,3.0,4.00.30.30.4210Xip021x012x)(xF0x0)()(PxF10x4.00)(XPxF21x7.010)(XPXPxF2x1)()(PxF图2.1概率函数与概率密度函数一、随机变量的概率函数1.离散型随机变量Def如果随机变量所有可能取值为有限或无穷可列，则该随机变量称为离散型随机变量。设离散型随机变量的所有可能取值是，而取值的概率为，即有则称该式为随机变量的概率函数。其也可以用下列表达：并称其为随机变量的概率分布列，简称分布列。注意：离散型随机变量的概率分布除用分布函数可以表示以外，还可以利用概率函数或分布列表示，概率函数与分布列是等效的，概率函数比分布列表示更直观、简便。X,,,21kxxxkxkp,2,1kpxXPkkXkpkxxx21kppp21XX2.概率函数或分布列的性质（1）；（2）（归一性）。3.概率函数与分布函数的关系已知概率函数求分布函数已知分布函数求概率函数例2.8设的分布列为试求。解：由随机变量的分布列有,3,2,10kpk11kkp1()kkkkxxFxPXxpxxx)0()(kkkkxFxFxXPpXXip2116/12/13/15.10XPX2115.10XPXP例2.9设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，用表示抽取出2件产品中的次品数，求随机变量的分布律和“至少抽得一件次品”的概率。解：的可能取值为。于是，由古典概率有所以，的分布列为XXX2,1,095680220217CCPXP抽出产品全为正品19051122011713CCCPXP抽出产品有一件次品1903222023CCPXP抽出产品全为次品XXip210190/3190/5195/6895/271XPP抽出产品至少一件次品例2.10一名士兵向一目标连续射击，直至其击中目标为止。假定该士兵命中率为，而且任意两次射击之间互不影响，用表示该名士兵射击次数。求的概率分布。解：的可能取值为；设表示该名士兵第次击中目标，。于是有相互独立；。所以即的概率函数为注意：这种类型的随机变量取值愈大，概率值愈小，是典型的不等概分布。当时，取1的概率最大。XXX,,,2,1kiAi,3,2,1iiAkkAAAAkX121p1121121)1()()()()()(kkkkkppAPAPAPAPAAAAPkXPX,3,2,1)1(1kppkXPk8.0pX例2.11设随机变量的概率函数为试求（1）常数的值；（2）概率最大的取值。解:(1)由概率函数的性质有又有函数的幂级数展开知，从而有解得(2)由(1)知随机变量的分布列为显然，随机变量取1和2的概率最大。X,3,2,1,0!2kekkXPkX1!!0022kkkkkeek0!kkxkxe12ee2Xip3210222233.122eeeeX二、随机变量的概率密度函数1.连续型随机变量Def设为随机变量，其分布函数记为，如果存在非负函数，使得则称为连续型随机变量，非负函数为概率密度函数，简称概率密度或密度函数。2.概率密度的性质（1）对于任意有；（2）；（3）对于任意有；（4）在函数连续点有。X)(xF)(xf),()()(xdttfxFxX)(xf),(x0)(xf1)(dxxfba,badxxfbXaP)()()(xfxF)(xf3.连续型随机变量与离散型随机变量区别定理：设为连续型随机变量，为任意实数，则有证明：设的分布函数为，易知处处连续。于是，对于任意的，一定成立下列结论：即有不等式关于求极限，便得所以有该定理表明连续型随机变量的概率分布不能用逐点取值的概率表达，而只能用概率密度来表达。Xc0cXPX)(xF)(xF0x)()()(0xcFcFcXxcPcXP)()(0xcFcFcXP0x0)()()(lim)(00cFcFxcFcFcXPx0cXP对于连续型随机变量总成立下式：例2.12设随机变量的概率密度为试求。解:由概率密度的性质知解得，所以)()(aFbFbXaPbXaPbXaP]2,2[0]2,2[cos)(xxxaxf40XP22()cos1fxdxaxdx21a40120cos424PXxdxX例2.13设随机变量的分布函数为试求(1)常数的值；(2)；(3)概率密度。解:(1)由于连续型随机变量分布函数处处连续，所以有从而有，于是分布函数为(2)(3)X111000)(2xxAxxxF7.03.0XPA)1()(lim1FxFx1A111000)(2xxxxxF220.30.7(0.7)(0.3)0.70.30.40PXFF其他0102)()(xxxFxf几个常用的概率分布引入随机变量的概念以后，客观世界中的许多随机现象，如果抛开其所涉及的具体内容，实质上可以用同一个概率模型（概率分布）来表达。一、几个常用的离散型概率分布1.二点分布（0-1分布）Def若随机变量的分布表为其中，则称服从参数为的二点分布。二点分布所能刻画的随机现象：凡是随机试验只有两个可能的结果，都可以二点分布作为其概率模型。例如：掷硬币观察正反面，产品是否合格，人口性别统计，系统是否正常，电力消耗是否超负荷等等。XXkp10qp1,10qppXp2.二项分布Def若随机变量的概率函数为则称服从参数为的二项分布，记为。二项分布所能刻画随机现象：凡是重贝努里概型中随机事件发生次数的概率分布规律都可用二项分布来刻画。当时，二项分布就是二点分布。例2.14设某学生在期末考试中，共有5门课程要考，已知该学生每门课程及格的概率为0.8。试求该学生恰好有3门课及格的概率和至少有3门课及格的概率。解:设表示该学生恰好有3门课及格；表示该学生至少有3门课及格。显然，这是一个5重贝努里概型，从而有X0,1,2,,kknknPXkCpqknXpn,),(~pnBXnA1nAB2048.02.08.0)(2335CAP332441550555()0.80.20.80.20.80.20.9423PBCCC例2.15某保险公司以往资料显示，索赔要求中有8%是因为被盗而提出来的。现已知该公司某个月共收到10个索赔要求，试求其中包含4个以上被盗索赔要求的概率。解:设表示10个索赔要求中被盗索赔要求的个数，则于是，所求概率为即10各索赔要求中有4个以上被盗索赔要求的概率为0.00059通过该例题的求解，可以看出：二项分布当参数很大，而很小时，有关概率的计算是相当麻烦的。甚至有时借助于计算工具也难实现。为了解决这种情况下的二项分布有关概率计算问题，1837年法国数学家S.D.Poisson提出了以下定理。X)08.0,10(~BX101010540.080.920.00059kkkkPXCnpPoisson定理设随机变量，若时，有，则有证明：令，于是有对于固定的有所以),(~nnpnBXnnnp,2,1,0!)1(kekppCkXPkknnknknnnnnpknnknknnknknnknknnnnknnknnkknnnppCkXP)1)(11()21)(11(!)1()(!)1()1()1(kennknnknnnn)1(lim1)11()21)(11(limekppCkXPkknnknknnn!)1(lim实际应用中：当较大,较小，适中时，即可用泊松定理的结果对二项概率进行近似计算。例2.16某人骑摩托车上街，出事故的概率为0.02，独立重复上街400次，求至少出两次事故的概率。解:400次上街400重Bernoulli概型；记为出事故的次数，则。由于，所以由Poisson定理有若某人做某事的成功率为1%，