随机变量函数的分布、卷积公式

概率论第五节两个随机变量的函数的分布的分布M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布课堂练习小结布置作业ZXY概率论在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:当随机变量X,Y的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?概率论例1若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解)()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+…+arb0riirYiXP0),(由独立性r=0,1,2,…一、的分布ZXY概率论解依题意riirYiXPrZP0),()(例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…!)(ieiXPi11!)(jejYPj2212,λλ12λλ的泊松分布.概率论riirYiXPrZP0),()(ri0i-r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i-r2i1)(i)!-(ri!r!!21,)(!21)(21rrer=0,1,…即Z服从参数为的泊松分布.12λλ概率论例3设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.Ddxdyyxf),(这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函数是:ZFzPZzPXYz它是直线x+y=z及其左下方的半平面.xyzxy0概率论化成累次积分,得zyxZdxdyyxfzF),()(yzZdydxyxfzF]),([)(固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得zZdyduyyufzF]),([)(zdudyyyuf]),([变量代换交换积分次序xyzxy0y概率论由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成dyyyzfzFzfZZ),()()('以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()('zZdudyyyufzF]),([)(概率论特别地，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:dyyfyzfzfYXZ)()()(dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.卷积公式概率论为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例4若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.其它,010,1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解由卷积公式1010xzx也即zxzx110概率论zxzxOz1zx211zz1z暂时固定0.Zfz故当或时,0z2z0zZfzdx当时,01z12z当时,z11Zzfzdx2z于是,01,2,12,0,.Zzzfzzz其它dxxzfxfzfYXZ)()()(概率论例5若X和Y是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.dxxzfxfzfYXZ)()()(解由卷积公式222212zxxeedxπ22()4212zzxeedxπ22()212zxzxeedxπ概率论22()4212zzxeedxπ令,2ztx得Zfz22412zteedtπ2412zeππ2222122zeπ可见Z=X+Y服从正态分布N(0,2).概率论用类似的方法可以证明:),(~222121NYXZ若X和Y独立,),,(~),,(~222211NYNX结论又如何呢?此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).概率论有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.更一般地,可以证明:概率论休息片刻再继续概率论二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函数即有FM(z)=FX(z)FY(z)MzXzYz概率论即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(N≤z)=1-P(Nz)2.N=min(X,Y)的分布函数NzXzYz由于X和Y相互独立,于是得到N=min(X,Y)的分布函数为:=1-P(Xz)P(Yz)FN(z)概率论设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为我们来求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数.(i=1,…,n)用与二维时完全类似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函数是M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:12nMXXXFzFzFzFz121[1][1][1]nNXXXFzFzFzFziXFz概率论特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有[]nMFzFz1[1]nNFzFz概率论例6设系统L由两个相互独立的子系统连接而成,连接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统损坏时,系统开始工作),如下图所示.设的寿命分别为已知它们的概率密度分别为12,LL12,LL1L2L,,XY,0,0,0,αxXαexfxx,0,0,0,βyYβeyfyy0,0αβ其中且试分别就以上三种连接方式写出的寿命的概率密度..αβLZXY1L2LXY1L2L1LXY2L概率论XY1L2L解(i)串联的情况由于当系统中有一个损坏时,系统L就停止工作,12,LL所以此时L的寿命为min,ZXY,0,0,0,αxXαexfxx因为X的概率密度为所以X的分布函数为xXXFxftdt概率论xXXFxftdtx0xx0xXFxdt0当x0时,000xαtXFxdtedt1αxe当x0时,1,0,0,0,αxXexFxx故类似地,1,0,0,0,βyYeyFyy可求得Y的分布函数为概率论于是的分布函数为min,ZXY=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]minFz()1,0,0,0,αβzezz的概率密度为min,ZXY(),0,0,0,αβzαβezzminminfzFz概率论XY1L2L(ii)并联的情况由于当且仅当系统都损坏时,系统L才停止工作,12,LL所以此时L的寿命为max,ZXY故的分布函数为max,ZXYmaxXYFzFxFy(1)(1),0,0,0,αzβzeezz概率论XY1L2LmaxmaxfzFz(),0,0,0,αzβzαβαeβeαβezz于是的概率密度为max,ZXY(iii)备用的情况因此整个系统L的寿命为由于当系统损坏时,系统才开始工作,1L2LZXY概率论dyyfyzfzfYXZ)()()(当z0时,0.Zfz当z0时,0zαzyβyZfzαeβedyzyzyO当且仅当0,0,yzy0yz即时,上述积分的被积函数不等于零.故zz概率论0zβαyαzαβeedy().αzβzαβeeβαZXY于是的概率密度为0,0.Zfzz(),0,αzβzαβeezβα0zαzyβyZfzαeβedy概率论需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.概率论三、课堂练习设是相互独立的随机变量,它们都服从正态分布.试验证随机变量具有概率密度XY、20,Nσ22ZXY2222,0,0,zσZzezfzσ其它概率论四、小结在这一节中,我们讨论了两个随机变量的函数的分布的求法.概率论五、布置作业《概率统计》标准化作业(三)