专题04 导数及其应用(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(原卷版)

高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测2018年高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．1．导数的定义f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式①c′＝0(c为常数)；②(xm)′＝mxm－1；③(sinx)′＝cosx;④(cosx)′＝－sinx；⑤(ex)′＝ex;⑥(ax)′＝axlna；⑦(lnx)′＝1x；⑧(logax)′＝1xlna.(2)导数的四则运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③[fxgx]′＝fxgx－fxgxg2x.④设y＝f(u)，u＝φ(x)，则y′x＝y′uu′x.4．函数的性质与导数在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．5．利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定积分的上、下限；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(ab)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.①当f(x)0时，S＝abf(x)dx；②当f(x)0时，S＝－abf(x)dx；③当x∈[a，c]时，f(x)0；当x∈[c，b]时，f(x)0，则S＝acf(x)dx－cbf(x)dx.考点一导数的几何意义及应用例1、(1)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.(2)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.【变式探究】设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3考点二导数与函数的极值、最值例2、(1)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0【方法技巧】1.函数图象是研究函数单调性、极值、最值最有利的工具．2．可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，当x＝0时就不是极值点，但f′(0)＝0.3．极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值；在x0处有f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件．4．f′(x)在f′(x)＝0的根的左右两侧的值的符号，如果“左正右负”，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果“左负右正”，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．【变式探究】1．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，若不等式f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，且f(x)的极小值等于－115，则a的值是()A．－8122B.13C．2D．5考点三导数与函数的单调性例3、若函数f(x)＝x2＋ax＋1x在12，＋∞是增函数，则a的取值范围是()A．[－1,0]B．[－1，＋∞)C．[0,3]D．[3，＋∞)(2)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)【变式探究】对于R上可导的任意函数f(x)，若满足1－xfx≤0，则必有()A．f(0)＋f(2)＞2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)＜2f(1)D．f(0)＋f(2)≥2f(1)1.【2017课标II，理】已知函数2lnfxaxaxxx，且0fx。(1)求a；(2)证明：fx存在唯一的极大值点0x，且2202efx。2.【2017山东，理20】已知函数22cosfxxx，cossin22xgxexxx，其中2.71828e是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线yfx在点,f处的切线方程；（Ⅱ）令hxgxafxaR，讨论hx的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.3.【2017天津，理20】设aZ，已知定义在R上的函数432()2336fxxxxxa在区间(1,2)内有一个零点0x，()gx为()fx的导函数.（Ⅰ）求()gx的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]mxx，函数0()()()()hxgxmxfm，求证：0()()0hmhx；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数,pq，且00[1,)(,2],pxxq满足041||pxqAq.1.【2016高考山东理数】若函数()yfx的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()yfx具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）（A）sinyx（B）lnyx（C）exy（D）3yx2.【2016年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)=ln,01,ln,1,xxxx图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()（A）(0,1)（B）(0,2)（C）(0,+∞)（D）(1,+∞)3.【2016高考新课标2理数】若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b．4.【2016高考新课标3理数】已知fx为偶函数，当0x错误!未找到引用源。时，()ln()3fxxx错误!未找到引用源。，则曲线yfx在点(1,3)处的切线方程是_______________．5.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数错误!未找到引用源。有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是fx错误!未找到引用源。的两个零点,证明：122xx.6.【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知221()ln,Rxfxaxxax.（I）讨论()fx的单调性；（II）当1a时，证明3()'2fxfx＞对于任意的1,2x成立.7.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)xxfxababab.设12,2ab.（1）求方程()2fx的根;（2）若对任意xR,不等式(2)f()6fxmx恒成立，求实数m的最大值；（3）若01,1ab＞，函数2gxfx有且只有1个零点，求ab的值。8.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设函数3()(1)fxxaxb,Rx，其中Rba,(I)求)(xf的单调区间；(II)若)(xf存在极值点0x，且)()(01xfxf，其中01xx，求证：1023xx；（Ⅲ）设0a，函数|)(|)(xfxg，求证：)(xg在区间]1,1[上的最大值不小于．．．41错误!未找到引用源。.9.【2016高考新课标3理数】设函数()cos2(1)(cos1)fxaxax，其中0a，记|()|fx错误!未找到引用源。的最大值为A．（Ⅰ）求()fx；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明|()|2fxA．10.【2016高考浙江理数】（本小题15分）已知3a，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，其中min{p，q}=,ppqqpq.，，（I）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.11.【2016高考新课标2理数】(Ⅰ)讨论函数xx2f(x)x2e的单调性，并证明当0x时，(2)20xxex；(Ⅱ)证明：当[0,1)a时，函数2x=(0)xeaxagxx（）有最小值.设()gx的最小值为()ha，求函数()ha的值域．12.【2016年高考北京理数】（本小题13分）设函数()axfxxebx，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为(1)4yex，[来源:学,科,网]（1）求a，b的值；（2）求()fx的单调区间.[来源:学科网ZXXK]【2015高考江苏，19】（本小题满分16分）已知函数),()(23Rbabaxxxf.（1）试讨论)(xf的单调性；（2）若acb（实数c是a与无关的常数），当函数)(xf有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(，求c的值.【2015高考四川，理21】已知函数22()2()ln22fxxaxxaxaa，其中0a.（1）设()gx是()fx的导函数，评论()gx的单调性；（2）证明：存在(0,1)a，使得()0fx在区间(1,+)内恒成立，且()0fx在(1,+)内有唯一解.【2015高考广东，理19】设，函数．(1)求的单调区间；(2)证明：在上仅有一个零点；(3)若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（是坐标原点）,证明：．（2014·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．（2014·安徽卷）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{an}满足a1＞c1p，an＋1＝p－1pan＋cpa1－pn，证明：an＞an＋1＞c1p.1aaexxfx)1()(2)(xf)(xf,()yfx=Px(,)MmnOPO123eam【2015高考新课标2，理12】设函数'()fx是奇函数()()fxxR的导函数，(1)0f，当0x时，'()()0xfxfx，则使得()0fx成立的x的取值范围是（）A．B．(1,0)(1,)C．(,1)(1,0)D．(0,1)(1,)【2015高考新课标1，理12】设函数()fx=(21)xexaxa,其中a1，若存在唯一的整数，使得0()fx0，则a的取值范围是（）(A)[-32e，1）(B)[-错误!未找到引用源。，34错误!未找到引用源。）(C)[错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）(D)[错误!未找到引用源。，1）【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数2()mxfxexmx．(Ⅰ)证明：()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]xx，都有12()()1fxfxe，求m的取值范围．【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山