第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

一、平面的基本性质及公理公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线．公理4：(平行公理)平行于的两直线互相平行．两个点不在同一直线上有且只有一条同一直线二、直线与直线的位置关系1．位置关系的分类共面直线异面直线：不同在一个平面任何相交直线平行直线提示：①可以利用定义判断两直线不同在任何一个平面内.②利用“过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线”去判断.2．异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：．锐角或直角位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有个公共点有且只有个公共点公共点符号表示图形表示无数一没有a⊂αa∩α＝Aa∥α三、直线与平面的位置关系四、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行公共点两平面相交斜交有个公共点在一条直线上垂直有个公共点在一条直线上α∥βα∩β＝lα⊥β无无数无数五、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角．相等或互补1．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能解析：两直线可相交、异面或平行，选D.答案：D2．若直线a∥b，b∩c＝A，则直线a与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交解析：因为a∥b，b∩c＝A，所以由公理4知a与c一定不平行，故选D.答案：D3．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解析：A中PQ∥RS，B中RS∥PQ，D中RS和PQ相交．答案：C4．三条直线两两相交，可以确定________个平面．答案：1或35．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④1．点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．2．线共点问题证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上．3．证明点线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？1212(1)只需证BCGH.(2)先证四边形BEFG为平行四边形，再证明EF∥CH即得.1．本例条件不变下，证明直线FE、AB、CD三线共点．证明：连结EC.∵BEAF，BCAD，∴，故EC∥FD且EC≠FD，∴FE与DC交于一点P.又AB⊂平面ABEF，AB⊂平面ABCD，∴P点在AB上，故FE、DC、AB三线共点．对异面直线的定义的理解1．“不同在任何一个平面内”，指这两条直线不能确定任何一个平面，因此，异面直线既不相交，也不平行．2．不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．（1）可证得MN∥AC,故AM、CN共面;（2）利用反证法或定理法.1．空间两条直线的位置关系有：平行、相交或异面，利用它们去判断命题时要注意否定一种，另外两种都有成立的可能，如两直线不相交，则两直线平行或异面．2．对于两直线垂直，要注意两直线可相交垂直也可以异面垂直．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与CC1；(2)A1B1与DC；(3)A1C与D1B；(4)DC与BD1；(5)D1E与CF.空间点、线、面的位置关系的判断或证明,除判定定理外,还要注意异面直线的判定与证明一般用反证法.在考查反证法的同时，又考查空间线面位置关系的应用,值得注意.(2009·辽宁高考)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD=2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．[解](1)取CD的中点G，连结MG、NG.正方形ABCD、DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG＝2，NG＝因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.∴MG⊥NG，MN(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．所以ME与BN不共面，它们是异面直线．(1)不会利用平面ABCD⊥平面DCEF创建线线垂直，将所求MN放置于可解的直角三角形内．(2)否定结论后，不会利用假设与线面平行的性质导出AB∥EN，从而找不到矛盾所在．反证法证题的关键在于充分利用假设与条件推出矛盾，从而肯定结论正确．