波利亚解题表

初中数学学法系列课程波利亚解题表波利亚是谁？波利亚是谁？波利亚（GeorgePolya，1887-1985），美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学任教，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的院士。曾著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。上中学时，他就是一个很有上进心的学生。但每当遇到较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”波利亚是谁？无论在学习期间或任教期间，波利亚始终不忘研究少年时学数学所遇到的困惑。1944年8月，波利亚终于将他的研究成果公布于世，这就是名著《怎样解题表》。该书出版后，不胫而走，迅速传遍全世界。直到今天，该书仍被各国数学教育界奉为经典。波利亚是谁？波利亚解题表是什么？“波利亚解题表”（（又称怎样解题表）就是《怎样解题》一书的精华，该表被波利亚排在该书的正文之前，并且在书中再三提到该表。实际上，该书就是“怎样解题表”的详细解释。波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤，只要解题时按这四个步骤去做，必能成功。同学们如果能在平时的做题中不断实践和体会该表，必能很快就会发出和波利亚一样的感叹：“学数学是一种乐趣！”回顾波利亚解题表是什么？波利亚解题表是什么？第一，你必须弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?•Step1弄清问题波利亚解题表是什么？•Step2拟定计划第二，找出已知数与未知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题．你应该最终得出一个求解的计划你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?回到定义去．如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分．这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?波利亚解题表是什么？•Step3实现计划第三，实行你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤．你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?波利亚解题表是什么？•Step4回顾第四，验算所得到的解你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?波利亚解题表是什么？•比利亚解题表应用示例某单位计划10月份组织员工到外地旅游，估计人数在6～15人之间。甲、乙两旅行社的服务质量相同，且对外报价都是200元，该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客九折优惠。（1）分别写出两旅行社所报旅游费用y与人数x的函数关系式。（2）若有11人参加旅游，应选择那个旅行社？（3）人数在什么范围内，应选甲旅行社；在什么范围内，应选乙旅行社？•注：以第一问为例。波利亚解题表是什么？Step1弄清问题Step2拟定计划Step3实现计划Step4回顾某单位计划10月份组织员工到外地旅游，估计人数在6～15人之间。甲、乙两旅行社的服务质量相同，且对外报价都是200元，该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客九折优惠。（1）分别写出两旅行社所报旅游费用y与人数x的函数关系式。（2）若有11人参加旅游，应选择那个旅行社？（3）人数在什么范围内，应选甲旅行社；在什么范围内，应选乙旅行社？未知量是什么已知条件和数据是什么引入适当的符号旅游费用y和人数x（本题特殊之处在于题目中已经给出来了）甲旅行社所报旅游费用与人数x的函数关系式；乙旅行社所报旅游费用与人数x的函数关系式①人数估计在6~15人之间；②甲乙两旅行社对外报价都是200元；③甲旅行社可给予每位游客八折优惠；④乙旅行社可免去一位游客的旅游费用，其余游客九折优惠波利亚解题表是什么？Step1弄清问题Step2拟定计划Step3实现计划Step4回顾某单位计划10月份组织员工到外地旅游，估计人数在6～15人之间。甲、乙两旅行社的服务质量相同，且对外报价都是200元，该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客九折优惠。（1）分别写出两旅行社所报旅游费用y与人数x的函数关系式。（2）若有11人参加旅游，应选择那个旅行社？（3）人数在什么范围内，应选甲旅行社；在什么范围内，应选乙旅行社？已知条件和未知量之间的关系是怎样的甲旅行社费用=单价×人数×80%；乙旅行社费用=单价×（人数-1）×90%你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗注意不要遗漏函数的表达式中自变量的取值范围波利亚解题表是什么？Step1弄清问题Step2拟定计划Step3实现计划Step4回顾某单位计划10月份组织员工到外地旅游，估计人数在6～15人之间。甲、乙两旅行社的服务质量相同，且对外报价都是200元，该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客九折优惠。（1）分别写出两旅行社所报旅游费用y与人数x的函数关系式。（2）若有11人参加旅游，应选择那个旅行社？（3）人数在什么范围内，应选甲旅行社；在什么范围内，应选乙旅行社？执行你的解题方案甲旅行社费用为：y=200x×80%，即y=160x（6x15)；乙旅行社费用为：y=200（x-1）×90%，即y=180x-180（6x15).你能清楚地看出每一个步骤的正确性吗确认，都是正确的波利亚解题表是什么？Step1弄清问题Step2拟定计划Step3实现计划Step4回顾某单位计划10月份组织员工到外地旅游，估计人数在6～15人之间。甲、乙两旅行社的服务质量相同，且对外报价都是200元，该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客九折优惠。（1）分别写出两旅行社所报旅游费用y与人数x的函数关系式。（2）若有11人参加旅游，应选择那个旅行社？（3）人数在什么范围内，应选甲旅行社；在什么范围内，应选乙旅行社？你能以不同的方式推导这个结果吗此题主要利用“费用=单价×数量”这一关系式，考虑两家旅行社的优惠条件进行解答，方法比较单一你能在别的题目中利用这个结果或这种方法吗？也许是可以的。你想试一试吗？试着做一下第2、3小问吧！波利亚解题表是什么？•比利亚解题表应用示例：你能仿照上面的方式，分析、解答第2、3两小问吗？某单位计划10月份组织员工到外地旅游，估计人数在6～15人之间。甲、乙量旅行社的服务质量相同，且对外报价都是200元，该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客九折优惠。（1）分别写出两旅行社所报旅游费用y与人数x的函数关系式。（2）若有11人参加旅游，应选择那个旅行社？（3）人数在什么范围内，应选甲旅行社；在什么范围内，应选乙旅行社？小结•这节课你学到了什么？•你还有什么疑惑吗？谢谢!