安徽省皖北协作区2015届高考数学一模试卷(理科)

安徽省皖北协作区2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“ab＞0且a+b＜0”是“a与b均为负数的”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．（5分）复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A．B．C．D．或4．（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2﹣=1的一条渐近线的距离为（）A．1B．2C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2B．3C．4D．56．（5分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又有f（﹣2）=0，则不等式x•f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）在极坐标系中，点（2，﹣）到圆ρ=﹣2cosθ的圆心的距离为（）A．2B．C．D．9．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a的值是（）A．4B．C．1D．210．（5分）已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足|﹣+2|=2，则||的最大值为（）A．2+B．2﹣C．+2D．﹣2二、本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的相应位置.11．（5分）函数f（x）=的值域为．12．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是13．（5分）从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为（用数字作答）14．（5分）已知集合A={（x，y）||x|+2|y|≤4}，集合B={（x，y）|（x﹣m）2+y2=}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则下列命题正确的是（填上你认为正确的所有命题的序号）①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）的图象与函数h（x）=2sin（x﹣）的图象关于x轴对称；④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=；⑤设函数g（x）=f（x）+2x，若g（θ﹣1）+g（θ）+g（θ+1）=﹣2π，则θ=﹣．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b（cosA﹣3cosC）=（3c﹣a）cosB．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB=，且△ABC的周长为14，求b的值．17．（12分）央视财经频道《升级到家》栏目答题有奖，游戏规则：每个家庭两轮游戏，均为三局两胜，第一轮3题答对2题，可获得小物件（家电），价值1600元；第二轮3题答对2题，可获得大物件（家具）价值5400元（第一轮的答题结果与第二轮答题无关），某高校大二学生吴乾是位孝顺的孩子，决定报名参赛，用自己的知识答题赢取大奖送给父母，若吴乾同学第一轮3题，每题答对的概率均为，第二轮三题每题答对的概率均为．（Ⅰ）求吴乾同学能为父母赢取小物件（家电）的概率；（Ⅱ）若吴乾同学答题获得的物品价值记为X（元）求X的概率分布列及数学期望．18．（12分）已知函数f（x）=mlnx+x2﹣（m+1）x+ln2e2（其中e=2.71828…是自然对数的底数）（Ⅰ）当m=﹣1时，求函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．19．（13分）已知F1，F2为椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P（1，）在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．20．（13分）如图，已知四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形，平面AA1B1B和平面AA1C1C互相垂直，且∠ACC1=∠BAA1=60°，AA1=2（Ⅰ）求证：AA1⊥BC1；（Ⅱ）求四面体A﹣CC1B1的体积；（Ⅲ）求二面角C﹣AB﹣C1的正弦值．21．（13分）已知数列{an}满足：a1=1，an+1﹣ansin2θ=sin2θ•cos2nθ．（Ⅰ）当θ=时，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若数列{bn}满足bn=sin，Sn为数列{bn}的前n项和，求证：对任意n∈N*，Sn＜3+．安徽省皖北协作区2015届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“ab＞0且a+b＜0”是“a与b均为负数的”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由“ab＞0且a+b＜0”⇔“a与b均为负数的”，即可判断出．解答：解：“ab＞0且a+b＜0”⇔“a与b均为负数的”，因此“ab＞0且a+b＜0”是“a与b均为负数的”的充要条件．故选：C．点评：本题考查了充要条件的判定、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．2．（5分）复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：复数z====1﹣2i，在复平面内对应的点（1，﹣2），所在的象限为第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．（5分）已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A．B．C．D．或考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列和等比数列可得a2﹣a1=﹣2，b2=﹣4，代入要求的式子计算可得．解答：解：∵﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，∴a2﹣a1==﹣2，又∵﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，∴b22=（﹣2）×（﹣8）=16，解得b2=±4，又b12=﹣2b2，∴b2=﹣4，∴==故选：B点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题．4．（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2﹣=1的一条渐近线的距离为（）A．1B．2C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求．解答：解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线x2﹣=1的一条渐近线为y=x，则焦点到渐近线的距离为d==．故选C．点评：本题考查抛物线和双曲线的性质，主要考查渐近线方程和焦点坐标，运用点到直线的距离公式是解题的关键．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2B．3C．4D．5考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S≤2，退出循环体，求出此时的P值即可．解答：解：S=1，满足条件S≤2，则P=2，S=1+=满足条件S≤2，则P=3，S=1++=满足条件S≤2，则P=4，S=1+++=不满足条件S≤2，退出循环体，此时P=4故选：C点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．6．（5分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又有f（﹣2）=0，则不等式x•f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：∵奇函数在（0，+∞）上是减函数，∴在（﹣∞，0）上也是减函数，且f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0，作出函数f（x）的草图：则不等式x•f（x）＜0等价为x＞0时，f（x）＜0，此时x＞2当x＜0时，f（x）＞0，此时x＜﹣2，综上不等式的解为x＞2或x＜﹣2，故不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：A点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：综合题；推理和证明．分析：利用排除法，即可得出结论．解答：解：由题意，x≠0，排除A；x＜0，0＜2x＜1，y=＞0，排除B；x增大时，指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，排除D，故选：C．点评：本题考查函数的图象，考查排除法的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．（5分）在极坐标系中，点（2，﹣）到圆ρ=﹣2cosθ的圆心的距离为（）A．2B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用，把极坐标化为直角坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．解答：解：点P（2，﹣）可得：xP==1，yP==﹣，∴P．圆ρ=﹣2cosθ化为ρ2=﹣2ρcosθ，∴x2+y2=﹣2x，化为（x+1）2+y2=1，可得圆心C（﹣1，0）．∴|PC|==．故选：D．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a的值是（）A．4B．C．1D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由线性约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即A（1，﹣），化z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×1，解得：a=2．故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合及数学转化思想方法，是中档题．10．（5分）已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足|﹣+2|=2，则||的最大值为（）A．2+B．2﹣C．+2D．﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由题意可设=（1，0），=（，），=（x，y），可得x2+（y+）2=4，故向量的终点在以C（0，﹣）为圆心，半径等于2的圆上，由图象即可得到最大值为|OA|．解答：解：是单位向量，且的夹角为，设=（1，0），=（，），=（x，y）则﹣+2=（x，y+），∵|﹣+2|=2，即x2+（y+）2=4，故向量的终点在以C（0，﹣）为圆心，半径等于2的圆上，∴||的最大值为|OA|=|OC|+r=+2．故选：A．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键，属于基础题．二、本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的相应位置.11．（5分）函数f（x）=的值域为[0，1）．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的单调性的性质，结合根式的性质即可求出函数的值域．解答：解：∵ex＞0，∴﹣ex＜0，则0≤1﹣ex＜1，则0≤＜1，即0≤f（x）＜1，故函数的值域为[0，1），故答案为