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当前位置:首页 > 电子/通信 > 综合/其它 > 1-3随机事件的概率
下回停第三节随机事件的概率一、频率的定义与性质三、古典概型五、概率的公理化定义六、内容小结二、概率的统计定义四、几何概型.,AnAn生的频数比值称为事件发生的频率并记1.定义一、频率的定义与性质,,nn在相同的条件下进行了次试验在这,AAnA次试验中事件发生的次数称为事件发().nfA成2.性质设A是随机试验E的任一事件,则(1)0()1;nfA(2)()1,()0;fΩf121212(3),,,,()()()().kknnnkAAAfAAAfAfAfA若是两两互不相容的事件则实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍,观察正面出现的次数及频率.试验序号5nHnf12345672315124Hnf50n22252125241827Hn500n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502处波动较大在21处波动较小在21波动最小随n的增大,频率f呈现出稳定性从上述数据可得(2)抛硬币次数n较小时,频率f的随机波动幅(1)频率有随机波动性,即对于同样的n,所得的f不一定相同;度较大,但随n的增大,频率f呈现出稳定性.即当n逐渐增大时频率f总是在0.5附近摆动,且逐渐稳定于0.5.实验者德.摩根蒲丰K.皮尔逊K.皮尔逊nHnf204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005()fHn的增大1.2重要结论频率当n较小时波动幅度比较大,当n逐渐增大时,频率趋于稳定值,这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的概率.医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重,医生的说法对吗?请同学们思考?在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人被这个消息吓得够呛时,医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我,我已经看过九个病人了,他们都死于此病.”二、概率的统计定义0()1;PA1.定义1.2(1)对任一事件A,有2.性质1.1(概率统计定义的性质)则定义事件A的概率为p,记作P(A)=p.01p着试验次数n的增加,趋于某一常数p,210()(),();PPmn随在随机试验中,若事件A出现的频率(1)显然成立;121212(3),,,,()()()()mmmAAAPAAAPAPAPA对于两两互斥的有限多个事件121212123(),,,,,,,,,mmmmAAAAAArrrrAAAAnnnn由于两两互斥,所以的频率与的频率211();Ωp由于是必然事件,每次试验均发生,则其频率恒等于,自然00;p对于,由于它是不可能事件,每次试验均不可能发生,则其频率恒等于,证明说明概率的统计定义直观地描述了事件发生的可能性大小,反映了概率的本质内容,但也有不足,即无法根据此定义计算某事件的概率.12,nrrrrnnnn满足等式1112.()()().mmPAAPAPA根据定义知注.1ºP(A)是一个确定的数!随机试验有关;2º当试验次数n很大时,有()().nPAfAn3º概率统计定义的缺陷(1)不便于理论研究.需要作大量的试验,才能观察出的稳定值.(2)在数学上不够严谨.与P(A)的区别()nfAn是一个随机数,是变数,它与()nfAn()nfAn三、古典概型若随机试验E具有下列两个特征:1)有限性样本空间中,只有有限个样本点:2)等可能性12,,,,n发生的可能性相等则称E所描述的概率模型为古典概型.古典概型随机试验12,,,n12{,,,}nΩ即1.古典概型定义设试验E的样本空间由n个样本点构成,A为E的任意一个事件,且包含m个样本点,则事件A出现的概率记为:称此为概率的古典定义.2.古典概型中事件概率的计算公式定义1.3().mAPAnΩ所包含样本点的个数样本空间所含样本点的总数例1滨江宾馆共有职工200人,其中女性有160人.现从所有职工任选一人,选得男性的概率是解样本点总数:n=200(人)事件A=“选得男性”A所包含的样本点数(即男性职工数)为:m=200-160=40(人)多少?()mPAn4010.2.20052º古典概率的计算公式:().mPAn1º判断古典概型的两个依据:①的有限性;②样本点的等可能性.3º乘法原理、排列与组合在这里起很大的作用.注3.常见的三种古典概型基本模型(1)摸球模型;(2)分房问题;(3)随机取数问题.问题1设箱中有只白球和β只黑球,现从袋中(1)无放回地摸球基本事件总数为:A所包含基本事件的个数为解设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球}例2摸球模型mnMNCmnMNCC().mnMNmnMNCCPAC故无放回地依次摸出a+b只球,求所取球恰好含a个白球,b个黑球的概率(a,βb)?同类型的问题还有:4)产品检验问题;6)扑克牌花色问题;5)鞋子配对问题;7)英文单词、书、报及电话号码等排列问题.1)中彩问题;2)抽签问题;3)分组问题;(2)有放回地摸球问题2设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放解},2{第三次摸到红球次摸到黑球前设A第1次摸球10种第2次摸球10种6种第1次摸到黑球6种第2次摸到黑球4种第3次摸到红球基本事件总数为310101010的概率.回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球第3次摸球10种基本事件总数为310101010,A所包含基本事件的个数为664,3664()10PA故0.144.同类型的问题还有:2)骰子问题.1)电话号码问题;3)英文单词、书、报等排列问题.1º先求样本空间所含的样本点总数.有n个人,每个人都以同样的概率1/N被分配在N(n≤N)间房中的每一间中,试求下列各事件的概率:(1)某指定n间房中各有一人;(2)恰有n间房,其中各有一人;(3)某指定房中恰有m(m≤n)人.解例3分房模型把n个人随机地分到N个房间中去,每一种分法就对应着一个样本点(基本事件),由于每个人都可以住进N间房中的任一分析间,所以每一个人有N种分法,n个人共有N×N×···×N=Nn种分法,即样本点总数:2º(1)设A=“某指定n间房中各有一人”则A所含样本点数:nN!nnPn!().nnPAN(2)设B=“恰有n间房,其中各有一人”分析这n间房可以从N个房间中任意选取,共有各有一人的分法有n!种,所以事件B所含的对于事件B,由于未指定哪n个房间,所以样本点数:种分法.而对于每一选定的n间房,其中nNC!nNCn!().nNnCnPBN(3)设C=“某指定房中恰有m(m≤n)人”.分析“某指定房中恰有m(m≤n)人”,这m个人其他的n-m个人可以任意地被分到余下的N-1间所含的样本点数:mnC可以从n个人中任意选出,共有种选法,而房中去,共有种分法,所以事件C(1)nmN(1).mnmnCN(1)().mnmnnCNPCN同类型的问题还有:1)球在杯中的分配问题;2)生日问题;3)旅客下站问题;5)性别问题4)印刷错误问题;(球人,杯房)(日房,N=365天)(或月房,N=12月)(站房)(印刷错误人,页房)(性别房,N=2)等等.例4随机取数模型从0,1,2,···,9共10个数字中任取一个,假定每个数字都以1/10的概率被取中,取后还原,先后取出7个数字,试求下列各事件的概率:(1)7个数字全不同;(2)不含4和7;(3)9恰好出现2次;(4)至少出现2次9.解样本空间所包含的样本点总数:107(1)A=“7个数字全不同”A所包含的样本点数:(2)B=“不含4和7”710P10987654.7107710!().10103!PPA()PB7780.2097.10(3)C=“9恰好出现2次”(4)D=“至少出现2次9”,(方法1)()PC25779.10C9(7),kDkk“恰好出现次”7779().10kkkCPD237DDDD由于,237()()()()PDPDPDPD所以,(方法2)777729().10kkkCPD01DDD由于,()1()PDPD011()()PDPD1677779911010C0.1497.设A是随机试验E的任一事件,则(1)0()1;PA(2)()1,()0;PΩP121212(3),,,,()()()().mkmAAAPAAAPAPAPA若是两两互不相容的事件则4.性质1.2(古典概型的概率性质)根据定义,(1),(2)显然成立;123(),,,mAAA由于,两两互斥,设证,miikΩn=1共含个样本点,若设中所含样本点为则112()()(mmkkPAPAPAnn).1()(){,,},iiikiA则12mAAA=112211112()()()()()(){,,,,,,}mmkkkm;;;;12(mPAAA)1miikn=1四、几何概型1.定义1.4若试验E具有下列特征:1)无限性:E的样本空间是某几何空间中的一个区域,其包含无穷多个样本点,每个样本点由区域内的点的随机位置所确定;2)等可能性:每个样本点的出现是等可能的,即样本点落在内几何度量相同的子区域是等可能的,则称E所描述的概率模型为几何概型,并称E为几何概型随机试验.注几何空间一维二维三维…几何度量长度面积体积…2.几何概率(定义1.5)对于随机试验E,以m(A)表示的几何度量,为样本空间.若0m()+,则对于任一事件A,定义其概率为()().()mAPAmΩ注();APAΩ的长度一维:的长度();APAΩ的面积二维:的面积().APAΩ的体积三维:的体积3.几何概型的概率性质0()1;pA(1)对任一事件A,有210()(),();PP121212(3),,,()()()()mmAAPAAAPAPAPA对于可列多个事件+(1)显然成立;123(),,,mAAA由于,两两互斥,所以211();Ωp由于是必然事件,每次试验均发生,则其频率恒等于,自然00;p对于,由于它是不可能事件,每次试验均不可能发生,则其频率恒等于,证12()(mmAmAAA)12()()()mmAmAmA115.()mpAA根据定义知12(()mmAAAmΩ)/1()/()iimAmΩ1()().mPAPA那末0,0.xTyT两人会面的充要条件为,xyt连.求甲、乙两人能会面的概率.解,,,xy设分别为甲乙两人到达的时刻甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(tT)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵例5(会面问题)故所求的概率为p阴影部分面积正方形面积222()TTtT21(1).tTxoytxytyx若以x,y表示平面上点的坐标,则有tTT例6(浦丰问题)相交的概率.alMxsin2l解设M表示针落下后,针的中心,x表示M与最近一平行线的距离,表示针与这平行线的夹角,则样本空间:l/21777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离a(a0)的一些平行线,向平面任意投一长为l(la)的针,试求针与平行线0,0,2ax针与一平行线相交设A=“针与一平行线相交”,则0xa/2Asin2lx0sin,2lx:0sin,2lAx()()()SAPASΩ0sin22.2ldlaa蒲丰投针试验的应用及意义.π的近似值利
本文标题:1-3随机事件的概率
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