1-4-条件概率-全概率公式-贝叶斯公式

下回停一、条件概率二、全概率公式与贝叶斯公式第四节条件概率、全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率甲乙两台车床加工同一种机械零件，质量表如下：正品数次品数合计甲车床35540乙车床501060总计8515100从这100个零件中任取一个，求下列事件的概率：引例11.引例(1)取出的一个为正品；(2)取出的一个为甲车床加工的零件；(3)取出的一个为甲车床加工的正品；(4)已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为正品.ABABC(1)85.010085)(AP(2)40.010040)(BP(3)35.010035)(ABP1001585总计601050乙车床40535甲车床合计次品数正品数解已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为正品.(4)发生”发生的条件下，事件“事件ABBAC:附加条件BA的样本点必然出现的中属于“样本空间B.的样本点出现”条件下，属于A此时，样本空间已不再是原来包含100个样本点的，而缩减为只包含40个样本点的B=B.35()()0.87540PCPAB)(85.0)(1BAPAP)(35.0)(2BAPABPBA为样本空间以:)(ABP():PAB为样本空间以BB3535/100()3()4040/100()PABPABPB这是巧合吗？不是.注方面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.分析,,,{}.HHHTTHTT.2142)(BP事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为),(ABP31)(ABP则).(BP4341)()(APABP.,为反面为正面设TH},,{},,,{TTHHBTHHTHHA引例2将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两设A，B是两个事件，且P(B)0,则称)()()(BPABPBAP为事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率.注:)(1的两种方法计算BAP①样本空间缩减法；②用定义.2.定义1.8(条件概率)的区别：与)()(2BAPABP为样本空间以:)(ABP:)(BAP为样本空间以BB如：对于古典概型，包含的样本点数样本空间包含的样本点数ABABP)(包含的样本点数包含的样本点数BABBAP)(ABAB女孩的概率(设男孩与女孩是等可能的).解,3个全是男孩”“A个中至少有一个女孩”“3A()PA31128)(1)(APAP87811男女123样本点总数：23.例1(1)求在有3个小孩的家庭中，至少有一个(2)在有3个小孩的家庭中，已知至少有1个女孩，求该家庭至少有1个男孩的概率.解孩”个小孩中至少有一个女“3A孩”个小孩中至少有一个男“再设3B)(1)(BPBP则3171,28”“有一个男孩两个女孩设1A”“有两个男孩一个女孩2A)(2121AAAAAB则)()()(21APAPABP8622323C)()()(APABPABP从而.768/78/6活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?设A=“能活20岁以上”的事件;B=“能活25岁以上”的事件,则有,8.0)(AP因为.)()()(APABPABP,4.0)(BP),()(BPABP.218.04.0)()()(APABPABP所以解),(BABAB例2某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,;1)(0BAP证BAB)()(0BPABP0)(BP又1)()(0BPABP.1)(0BAP即证BB1)()()()()(BPBPBPBPBP;0)(,1)(BPBP3.条件概率的性质(2)规范性：(1)非负性:，，，列：对于两两互斥的事件序21AA11)())((kkkkBAPBAP有证)())(())((11BPBAPBAPkkkk)()(1BPBAPkk1)(kkBAP(3)可列可加性：121212(())()()()PAABPABPABPAAB证1212(())()PAABPABAB)()()(2121BAAPBAPBAP).(1)(BAPBAP(5)逆事件的条件概率：12(())PAAB12(())()PAABPB1212()()()()PABPABPAABPB1212(|)(|)(|)PABPABPAAB(4)加法公式：)()()(,0)(BAPBPABPBP则有若)()()(,0)(ABPAPABPAP则有若意义：两事件积的概率等于其中的某一事件的概率乘以另一事件在前一事件已发生的条件下的条件概率.推广：则有且为事件设,0)(,,,ABPCBA()()()().PABCPAPBAPCAB4.乘法公式个事件，若是，，，nAAAn21,0)(121nAAAP)()()()(21312121AAAPAAPAPAAAPn).(121nnAAAAP则一般地，设摸球试验(卜里耶模型)例3把原球放回，并加进与抽出球同色的球c只，再取第二次，这样下去共取了n次球，问前n1次取到黑球，后n2=n-n1次取到红球的概率是多少？解红球11nAA以表示第一次取出黑球一事件表示11111nnAn第次取出黑球；表示第次取出nAn表示第次取出红球，则1()bPAbr21(|)bcPAAbrc箱中有b只黑球，r只红球，随机取出一只，1111211(1)(|)(1)nnbncPAAAAbrnc111121(|)nnrPAAAAbrnc1121211(|)(1)nnrcPAAAAbrnc2121(1)(|)(1)nnrncPAAAAbrnc此模型被卜里耶用来作为描述传染病的数学模型.因此122()2nbbcbcPAAAbrbrcbrc111(1)(1)bncrbrncbrnc21(1)(1)(1)rncrcbrncbrnc二、全概率公式与贝叶斯公式.,,,,)2(;,,2,1,,,)1(,,,,,212121的一个划分为样本空间则称若的一组事件为的样本空间为试验设定义nnjinAAAAAAnjijiAAEAAAE1A2A3A1nAnA1.样本空间的划分全概率公式则且的一个划分为的事件为的样本空间为试验设),,,2,1(0)(,,,,,,21niAPAAAEBEin定理)|()()()|()()|()()|()(12211iniinnABPAPAPABPAPABPAPABPBP2.全概率公式jiAA由))((jiBABA)()()()(21nBAPBAPBAPBP图示B1A2A3A1nAnA.21nBABABA化整为零各个击破)(21nAAABBB)|()()|()()|()()(2211nnABPAPABPAPABPAPBP证全概率公式中的条件：niiA1可换为.1niiAB注全概率公式的主要用处在于:它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.B1A2A3A1nAnA直观意义：某事件B的发生由各种可能的“原因”Ai(i=1,2,,n)引起，而Ai与Aj(ij)互斥，则B发生的概率与P(AiB)(i=1,2,,n)有关，且等于它们的总和：1()().niiPBPAB3.全概率公式的意义个黑球;乙箱中装有一个白球,两个黑球.现由甲箱中任取一球放入乙箱,再从乙箱中任取一球,问取到白球的概率是多少?解以A1表示事件“从甲箱中取出一个白球”,A2表示“从甲箱中取出一个黑球”这一事件,以B表示“从乙箱中取出一个白球”这一事件,则:12,AA则12,AA且例4甲、乙两个箱子,甲箱中装有两个白球,一1221(),()331122()()()()()因而12211(),()42421115323412子,1.5%的三等种子,1.0%的四等种子.用一等,二等,三等,四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率为0.5,0.15,0.1,0.05.求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率.解以Ai(i=1,2,3,4)分别记任选一颗种子是i等(i=1,2,3,4)这一事件,用B表示在这批种子中任选一颗且这颗种子所结的穗含50颗以上麦粒这一事件,则Ai(i=1,2,3,4)是一个划分.例5播种用的一等小麦种子中混和2.0%的二等种41()()()iii0.9550.50.020.150.0150.10.010.050.4825则由全概率公式的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A为“任取一件为次品”,.3,2,1,iiBi厂的产品任取一件为为事件123,BBB解.3,2,1,,jiBBji例6有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产由全概率公式得,2.0)(,5.0)(,3.0)(321BPBPBP30%20%50%2%1%1%112233()()()()()()().PAPBPABPBPABPBPAB.013.02.001.05.001.03.002.0,01.0)(,01.0)(,02.0)(321BAPBAPBAP112233()()()()()()()PAPBPABPBPABPBPAB故称此为贝叶斯公式.贝叶斯资料则且的一个划分为的事件为的样本空间为试验设),,,2,1(0)(,0)(,,,,,,21niAPBPAAAEBEin定理.,,2,1,)()|()()|()|(1niAPABPAPABPBAPnjjjiii4.贝叶斯公式)()()(BPBAPBAPii.,,2,1ni[证毕]niiiiiABPAPABPAP1)|()()|()(()(|)()iiPAPBAPB证解,995.0)(,005.0)(CPCP例7示“被检验者患有肝癌”这一事件，以A表示“判断被检验者患有肝癌”这一事件.假设这一检验法相应的概率为(|)0.95,(|)0.90PACPAC又设在人群中.现在若有一人被此检验法诊断为患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率.()0.0004PC(|)PCA因为(|)0.95PAC(|)1(|)0.1PACPAC假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，以C表由贝叶斯公式得所求概率为()()()()()()()PCPACPCAPCPACPCPAC即平均10000个具有阳性反应的人中大约只有38人患有癌症.0.00040.950.00040.950.99960.10.0038上题中概率0.005是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.087叫做后验概率.先验概率与后验概率乘船,乘汽车,乘飞机来的概率分别为1/5,1/10,2/5.若他乘火车来,迟到的概率是1/4;如果乘船,乘汽车来,迟到的概率是1/3,1/12;如果乘飞机便不会迟到,即迟到的概率为0.在结果是迟到的情形下,求他是乘火车的概率.解设A1,A2,A3,A4分别表示乘火车、乘船、乘汽车、乘飞机来的事件,以B表示迟到这一事件,由Bayes公式,有例8有朋友自远方来访,乘火车来的概率3/10,31014310141513110112250121()1()|()PABPB114