第二章基本公式

第一节平面应力问题和平面应变问题第二节平衡微分方程第三节平面问题中一点的应力状态第四节几何方程刚体位移第五节物理方程第六节边界条件第二章平面问题的基本理论第七节圣维南原理及其应用第八节按位移求解平面问题第九节按应力求解平面问题相容方程例题教学参考资料习题的提示和答案第十节常应力情况下的简化应力函数第二章平面问题的基本理论弹力平面问题共有应力、应变、位移8个未知函数，且均为。§2－1平面应力问题和平面应变问题弹力空间问题共有应力、应变、位移15个未知函数，且均为；zyxf,,yxf,平面应力有两类问题可以简化为平面问题。第二章平面问题的基本理论第一种：平面应力问题平面应力xyyztba条件是：⑴几何特征等厚度的薄板；一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。btat,——平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等第二章平面问题的基本理论xfyfxy体力、作用于体内，∥面，沿板厚不变；yfxfxy面力、作用于板边，∥面，沿板厚不变；uvxy约束、作用于板边，∥面，沿板厚不变。(2)受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z方向不变化。xyyztba第二章平面问题的基本理论.0,,2δzzyzxzττσ).(,0,,中在Vττσzyzxz薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：平面应力板面无面力和约束，故故只有平面应力存在。沿z向不变xyyxσσ,,(3)应力特征xyyztba第二章平面问题的基本理论平面应力归纳为平面应力问题：xyyxσσ,,a.应力中只有平面应力存在；yxf,b.且仅为。弧形闸门闸墩计算简图：深梁计算简图：Fyf如：yfyf第二章平面问题的基本理论.0,,zyzxzσ平面应力.0,,zyzxzσ例题1（习题2-3）试分析说明在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，其应力状态接近于平面应力的情况。选择坐标系如图。因表面无任何面力，xfyfzf、、=0,故表面上在近表面很薄一层∴接近平面应力问题。第二章平面问题的基本理论2.平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。——近似认为无限长(2)外力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。约束——沿长度z方向不变化。第二章平面问题的基本理论(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则,u,x,x沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面水坝第二章平面问题的基本理论水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有0w所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题0z0yzzy0xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy——平面应变问题第二章平面问题的基本理论注：(1)平面应变问题中0z但是，0z)(yxz(2)平面应变问题中应力分量：)0(,,,zyzxxyzyx——仅为xy的函数。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。厚壁圆筒第二章平面问题的基本理论.0,0,,0zyzxzyzxz平面应变xyyxγεε,,oxyz例2（习题2-4）试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，当板边上只受x、y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。按平面应变问题分析，本题中板边上只受x、y向的面力或约束只存在应变状态接近于平面应变的情况。第二章平面问题的基本理论如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题第二章平面问题的基本理论定义平衡微分方程─表示物体内任一点的微分体的平衡条件。在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体,作用于微分体上的力：1ddyx体力：yxff,§2－2平衡微分方程xdydxfyf第二章平面问题的基本理论应用的基本假定：连续性假定─应力用连续函数来表示。小变形假定─用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。列出平衡条件：合力=应力×面积，体力×体积；以正向物理量来表示。平面问题中可列出三个平衡条件:第二章平面问题的基本理论xxyyxyPBACxyODfxfyyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyd设P点应力已知：yxxyyx,,AC面：222)d(!21dxxxxxxxyyyxyxd222)d(!21dxxxxxyxyxyxxxxdBC面：xxxyxydyyyyd第二章平面问题的基本理论.01dd1d1d)d(1d1d)d(yxfxxyyyσyxxσσxyxyxyxxxx其中一阶微量抵消，并除以得：yxdd)(.0afyxσxyxx0yF)(.0bfxyσyxyy，同理可得：平衡条件xxyyxyPBACxyODfxfyyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyd0xF第二章平面问题的基本理论,0DM得,d21d21yyxxyxyxxyxy当时，得0d,dyx)(.cyxxy平衡条件xxyyxyPBACxyODfxfyyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyd2d1d2d1d)d(xyxyxxxyxyxy02d1d2d1d)d(yxyxyyyxyxyx切应力互等定理,第二章平面问题的基本理论平面问题的平衡微分方程：00yyxyxyxxfyxfyx（2-2）说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：yxxyyx,,——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。第二章平面问题的基本理论思考题1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来检验方程的正确性）。2.将条件,改为对某一角点的，将得出什么结果？3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？0DM0M第二章平面问题的基本理论已知坐标面上应力，求斜面上的应力。问题的提出：§2－3平面问题中一点的应力状态问题xyyxσσ,,第二章平面问题的基本理论1.斜面上的应力（1）斜面上应力在坐标方向的分量px，pyxyOdxdydsPABppxpyNyxxyxy设P点的应力分量已知：yxxyyx,,斜面AB上的应力矢量:p斜面外法线N的关于坐标轴的方向余弦：myN),cos(lxN),cos(lsyddmsxdd外法线第二章平面问题的基本理论由微元体平衡：,0xF01d1d1dspyxyxyy01d1d1dspxyxyxx整理得：xyyylmp（2-3）01d1d1dspmslsxyxxyxxxmlp,0yF整理得：（2-4）xyOdxdydsPABppxpyNyxxyxy外法线第二章平面问题的基本理论xyOdxdydsPABppxpyNyxxyxy外法线（2）斜面上的正应力与剪应力xyyylmpyxxxmlp（2-3）（2-4）xyNmplpyxNmplp将式（2-3）（2-4）代入，并整理得：xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22（2-5）（2-6）——任意斜截面上应力计算公式第二章平面问题的基本理论说明：（1）运用了剪应力互等定理：yxxy（2）的正负号规定：NN将N转动90°而到达的方向是顺时针的，则该为正；反之为负。N（3）若AB面为物体的边界S，则yyfpxxfpysxysyxsxysxflmfml)()()()(（2-18）——平面问题的应力边界条件第二章平面问题的基本理论2.一点的主应力与应力主向xyNmplpyxNmplp（1）主应力若某一斜面上，则该斜面上的正应力称为该点一个主应力；0NNmplpyxxyyylmpyxxxmlpmlmxyylmlyxx求解得：yyxlmyxxlm0)()(22xyyxyx222122xyyxyx（2-7）——平面应力状态主应力的计算公式dxdydsPABppxpyN第二章平面问题的基本理论主应力所在的平面——称为主平面；主应力所在平面的法线方向—称为主向；（2）主方向yyxlmyxxlm设σ1与坐标轴正向的方向余弦为l1、m1，则2222222cos)90cos(cossintanlm)(2yxy或设σ2与坐标轴正向的方向余弦为l2、m2，则1111111cos)90cos(cossintanlmxyx1xyx2)(1yxy或第二章平面问题的基本理论主方向的计算公式：yxyxyx2211tantan（2-8）由yx21得)(12xyxxy12tan1tantan21显然有表明：σ1与σ2互相垂直。结论任一点P，一定存在两互相垂直的主应力σ1、σ2。第二章平面问题的基本理论（3）σN的主应力表示xyOpNN由xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(222212mlN)(12lmN2212)(lσ1与σ2分别为最大和最小应力。2dxdydsPABN1第二章平面问题的基本理论几何方程─表示任一点的微分线段上形变与位移之间的关系。§2－4几何方程刚体位移定义一点的变形线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；第二章平面问题的基本理论1.几何方程xyOP考察P点邻域内线段的变形：PAdxBdyABuvxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPBdxPAd变形前变形后PABBPAuvxxvvdxxuudyyuudyyvvd注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。第二章平面问题的基本理论.1tan,1!21cos,!3sin23应用基本假定：⑴连续性；⑵小变形。当很小时，假定第二章平面问题的基本理论xuxuxxuuxd)d(假定由位移求形变：PA线应变PA转角PB线应变PB转角同理xyOPPAdxBdyABuvxxvvdyyuudxxuudyyvvdxvxvxxvvddtanyvyxuyuxvxy第二章平面问题的基本理论整理得：（2-9）说明：（1）反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）xy——以两线段夹角减小为正，增大为负。.,,yuxvyvxuxyyx平面问题的几何方程（2）当u、v已知，则可完全确定；反之，已知，不能确定u、v。xyyx,,x