概率论与数理统计-小结

概率论集合论样本空间（必然事件）Ω全集不可能事件Φ空集Φ子事件A⊂B子集A⊂B和事件A∪B并集A∪B积事件A∩B交集A∩B差事件A-B差集A-B对立事件补集AAVenn图演示集合的关系与运算事件之间的运算律交换律ABBAABBA结合律()()ABCABC分配律()()()ABCABAC)CA)(BA()BC(A摩根律BAABBABA设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn，而且这些事件的发生具有相同的可能性()AmPAn事件包含的基本事件数试验的基本事件总数古典概型的概率计算确定试验的基本事件总数事件Ａ由其中的m个基本事件组成确定事件A包含的基本事件数几何概型GeometricProbability将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中()()()ALAPASLS的几何度量的几何度量几何度量--------指长度、面积或体积特点有一个可度量的几何图形S试验E看成在S中随机地投掷一点给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，对于任意一个事件Ａ，赋予一个实数()PA，如果)(P满足下列三条公理，非负性：规范性：Ｐ(Ω)=1可列可加性：,,21AA那么，称为事件Ａ的概率．()PA概率的公理化定义Ｐ(Ａ)≥0两两互不相容时Ｐ（Ａ1∪Ａ2∪…）=Ｐ（Ａ1）+Ｐ（Ａ2）+…()0Pij11()(),AAnniiiiPAPA各，互不相容若AB，则P(B－A)=P(B)－P(A))()()()(ABPBPAPBAP()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPBCPACPABC)(1)(APAP设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件,且Ｐ（Ｂ）＞０，则称()()()PABPABPB为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率．定义条件概率ConditionalProbability乘法法则()()()()()PABPAPBAPBPAB12121312121()()()(())(())nnnPAAAPAPAAPAAAPAAAA()()()PABPABPB()()()PABPBAPA()()()(|)PABCPAPBAPCAB推广设Ａ1，Ａ2，...，Ａn构成一个完备事件组，且Ｐ(Ａi)＞0，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ，有1()()(|)niiiPBPAPBA全概率公式1A2A3A11()(|)PAPBA22()(|)PAPBA33()(|)PAPBA()PB设A1，A2，…,An构成完备事件组，且诸P（Ai）0)B为样本空间的任意事件，P（B）0,则有1()(|)(|)()(|)kkkniiiPAPBAPABPAPBA(k=1,2,…,n)证明()()()kkPABPABPB()()kkPAPBA1()()niiiPAPBA贝叶斯公式Bayes’Theorem设Ａ、Ｂ为任意两个随机事件，如果Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ）即事件Ｂ发生的可能性不受事件Ａ的影响，则称事件Ｂ对于事件Ａ独立．显然，Ｂ对于Ａ独立，则Ａ对于Ｂ也独立，故称Ａ与Ｂ相互独立．()()()PABPABPB()PA()(|)PABPBA()()/()PABPABPA事件的独立性independence定义事件的独立性判别()()()PABPAPB事件Ａ与事件Ｂ独立的充分必要条件是证明()()(|)(|)()PABPAPBAPBAPB由乘法公式和独立性定义可得实际问题中，事件的独立性可根据问题的实际意义来判断如甲乙两人射击，“甲击中”与“乙击中”可以认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的.设随机试验E只有两种可能的结果:A及,且P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoullitrials).贝努利试验Bernoullitrials相互独立的试验贝努利试验A贝努利定理设在一次试验中事件Ａ发生的概率为p(0p1)，则Ａ在n次贝努里试验中恰好发生k次的概率为knkknnqpCkP)((k＝0，1，2，...，n)其中pq1定理