概率统计浙大版第一章概率论的基本概念

在自然界和人类社会中有两类现象:(1)确定性现象.例如:在标准大气压下，纯水加热到100℃必然沸腾;向空中抛掷的物体必然会下落;太阳每天必然从东边升起，西边落下；等等……可能出现的结果:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”。实例1“抛掷一粒骰子,观察出现的点数”。（2）随机现象:实例2“医院中出生的宝宝的性别”。女,男。可能出现的结果：实例3“观察明天的天气”。可能出现的结果：晴，多云，雨。例如:一门火炮在一定条件下进行射击,个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差,但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性,如一定的命中率,一定的分布规律等等.又如:在一个容器内有许多气体分子,每个气体分子的运动存在着不定性,无法预言它在指定时刻的动量和方向.但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性,如在一定的温度下,气体对器壁的压力是稳定的,呈现“无序中的规律”.随机现象在大量重复观察或试验下，它的结果呈现出统计规律性：概率论的研究对象随机现象的统计规律性第一节随机试验•可以重复试验或观察的随机现象称为随机试验，随机试验简称试验，并记之以英文字母E..,:出现的情况和反面观察正面抛一枚硬币THE1几个具体试验:的情况.和反面观察正面将一枚硬币抛掷三次,THE2出现:观察正面将一枚硬币抛掷三次,HE3出现的次数.4:,.E抛一颗骰子观察出现的点数5:.E记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数7:.E记录某地一昼夜的最高温度和最低温度6:E在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.第二节样本空间随机事件的集合的所有可能结果所组成一个随机试验E的称为随机试验E记为.S,,称为的每个结果即样本空间中的元素E.样本点,样本空间样本点e.S现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具.一、样本空间例如,试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、反面T出现的情况:S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):则样本空间•E1:抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况.则样本空间为S1={H,T}•E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况.则样本空间为S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}•E3:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H出现的次数.则样本空间为S3={0,1,2,3}.1本空间写出下列随机试验的样例•E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.则样本空间为S7={(x,y)|T0≤x≤y≤T1}这里x表示最低温度,y表示最高温度;并设这一地区的温度不会小于T0,不会大于T1.•E4:抛一粒骰子,观察出现的点数.则样本空间为S4={1,2,3,4,5,6}•E5:记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.则样本空间为S5={0,1,2,3,…}•E6:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命.则样本空间为S6={t|t≥0}.,,,等表示常用随机事件简称事件CBA试验的样本空间的子集称为的随机事件.EES二、随机事件:样本空间为.654321,,,,,S如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.事件B={掷出奇数点}事件A={掷出1点}1,3,5.5,61.事件C{出现的点数大于4}当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称事件A发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.:样本空间为.654321,,,,,S事件B={掷出奇数点}1,3,5B发生当且仅当B中的样本点1,3,5中的某一个出现.基本事件:如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.事件Ai={掷出i点},i=1,2,3,4,5,6由一个样本点组成的单点集.基本事件例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件;即在试验中必定发生的事件，常用S表示;即在一次试验中不可能发生的事件，常用Ø表示.而“掷出点数8”则是不可能事件.2,AACBASE、、、、的样本空间为设试验1.的事件试验E:1.包含关系BA发生必然导致事件如果事件是事件或称事件包含事件则称事件发生(,AAB,)记作的子事件B.ABBA或,都有对于任何事件A.SA相等关系,与则称事件且若AABBA,记作或称等价相等事件B.BA三、事件间的关系与事件的运算:2.和事件的至少有一个发生所构成　、事件BA.记作的和与事件事件叫做事件BA.ABAB或,称事件类似地2中至少有一个发、、、nAAA1生的事件为事件.21的和事件、、、nAAA记之为,21nAAA简记为.1iniA称事件2件为中至少有一个发生的事、、AA1.2的和事件、、事件AA1记之为,21AA简记为.1iiA:3.积事件同时发生所构成的事件　、事件BA.记作的积事件与事件叫做事件BA.ABBA或,称事件类似地21同时发生所构成的、、、nAAA的事件为事件.21的积事件、、、nAAA记之为,21nAAA简记为.1iniA称事件21件为事、同时发生所构成的事、、AA.21的积事件、、件AA记之为,21AA简记为.1iiA:4.互斥事件,即不能同时发生、若事件BA.相容事件在一次试验与事件若事件BA:5.对立事件,满足条件　、即发生中必有且只有其中之一BAABSAB且,　、或称事件为互逆事件与事件则称事件BABA.的对立事件记为事件互为对立事件A.A,ABAB事件与事件互斥事件或互不则称为:6.差事件不发生所构发生而事件称事件BA,记作的差事件与事件成的事件为事件BA.BAABABABA.以上事件之间的各种关系及运算可以用下列各种图示来直观地表示BABASABSAB互斥、BAA对立事件　BABAABABSABSBASAABSAB;,:1BAABABBA交换律,:2CBACBA结合律;BCACAB,:3BCACCBA分配律;CBCACAB事件的运算满足的规律:4对偶律摩根律德,,BAABBABA,1111iniiniiniiniAAAA,1111iiiiiiiiAAAA1ABCS例设、、为样本空间中的三个随机:,件的运算表示下列随机事　、、试用事件CBA;1都不发生与发生而CBA;2都不发生、、CBA;3中恰好有一个发生、、CBA;4中至少有两个发生、、CBA;5中至少有一个发生、、CBA.6中恰好有两个发生、、CBA解CBA12CBA3CBACBACBA4ABCCABCBABCACBA5CABCBABCA6第三节频率与概率研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.一、频率的定义:频率　,,A次出现了事件次重复试验中设在nAn,A比值次试验中出现的频数在为事件则称nAn,记为次试验中出现的频率在为事件nAnnA,Afn即.AnnfAn:频率所具有的三个性质101;nfA21;nfS,,,,32则是两两互斥事件设kAAA11212nknnnkfAAAfAfAfA试验者抛币次数n“正面向上”次数频率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005)(Afn抛掷钱币试验记录定义.pAP,行大量的重复试验在不变的一组条件下进会稳定地在某个固定的出现的频率随机事件nnAA,为随机我们称这个稳定值的附近摆动的数值pp,即的概率事件A这个定义也称为.概率的统计定义二、概率的公理化定义,S,PA,EEA设是随机试验是它的样本空间对于的每一个事件赋予一个实数:,A件如果它满足下列三个条的概率称之为事件;01AP非负性;12SP规范性,,,321有对于两两互斥事件AA2121APAPAAP可列可加性.推得概率的下列性质由概率的公理化定义可1性质0.P证因为,故由概率公件两两互斥由于上式右端可列个事,有理化定义的可列可加性PPPPP,再由概率的非负性可得0.P2性质,,,,21则两两互斥设有限个事件nAAA1212.nnPAAAPAPAPA证因为1212nnAAAAAA,1有质所以由可列可加性及性1212nnPAAAPAAA12nPAPAPAPP1200nPAPAPA12.nPAPAPA3性质,有对于任何事件A.1APAP证因为,.AASAA且所以PAAPS.1并且APAPAAP,由以上两式可得1APAP即.1APAP4性质,,则且为两事件、设BABABPAPBAP证,,所以因为如图BASABBABAB并且BABA,2可得于是由性质BAPBPAP也即,BPAPBAP并且.BPAP,有又由概率的非负性0BPAPBAP即.BPAP5性质,都有对于任一事件A.1AP证,都有因为对于任一事件AAS,4可得故由性质1.PAPS6性质,,则为任意两个事件设BAABPBPAPBAP证,如图所示SBAABBAABBA而且ABAB所以BAPABBPAP.ABPBPAP由此性质还可推得BAP.BPAP:还可以推广而且此结果CBAPABPCPBPAPABCPBCPACP更一般地，有（奇加偶减公式）1iniAPniiAP11ijijnPAA1ijkijknPAAAnnAAAP2111,41,1APBA且已知为两个随机事件、设例.,21ABPBP就下列三种情况求概率　.913;2;1ABPBABA互斥与解,1所以互斥、由于BA互斥、BAABSABBPABP.21BAB于是所以SBABA,2所以因为BAABPABPAPBP.414121ABP3SBAABBAABBPABPBP.1879121第四节等可能概型(古典概型)一、古典概型假定某个试验有有限个可能的结果假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，则我们认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，或者说是等可能的.e1,e2,…，eN,23479108615例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.称这种试验为等可能概型或古典概型.若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.定义1.,,,neeeSE21的样本空间为设古典概率,即事件发生的可能性相同由于在试验中每个基本nePePeP21.于是互不相容的又由于基本事件是两两SP112nPeeenePePeP21