概率统计浙大版第三章多维随机变量及其分布

从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广.第一节二维随机变量到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标)来确定的等等.一般地,设是一个随机试验,E它的样本空间是,Se设11,XXe22,XXe,nnXXe是定义在上的随机变量,S由它们构成的一个维向n量12,,,nXXX叫做维随机向量n或维随机变n量.以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.)()(xXPxFxX的分布函数一维随机变量,,FxyPXxYyPXxYy,,xy如果对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数,,XY或者称为随机变量和的联合分布函数.YX定义1,XY设是二维随机变量,一、二维随机变量的分布函数xXOxOxyyYX,YXyx,x将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,,XY那么,分布函数在点处的函数值就是随机点落在下面左图所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,XY,xy,Fxy,xy分布函数的函数值的几何解释11211222,,,,yxFyxFyxFyxF2121,yYyxXxP随机点落在矩形域,XY1212[,]xxxyyy内的概率为xyOYX,2y1y1x2xxyOYX,1x2xyyx,1yx,2:,的性质分布函数yxF;,.1的不减函数和是关于变量yxyxF;,,,,212121yxFyxFxxRxxRy时当及对任意固定的;,,,,212121yxFyxFyyRyyRx时当及对任意固定的YX,,0,,,1,0.2yFRyyxF对任意固定的且.1,,0,,0,,FFxFRx对任意固定的OxyyYX,XY.0,,,,0,.3yxFyxFyxFyxFyx,xyx,x,),(ijjipyYxXP或随机变量X和Y的联合分布律.,)(kkpxXPk=1,2,…离散型一维随机变量XX的分布律,0kpkkp1k=1,2,…定义2的值是有限对或可列无限多对,是离散型随机变量.则称,XY设二维离散型随机变量,XY可能取的值是,,ijxy,1,2,,ij,1,2,ij记如果二维随机变量,XY全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量的分布律,,XY二、二维离散型随机变量ijijijpjip1,2,1,,0二维离散型随机变量的分布律具有性质,XY12jyyyXY12ixxx11211ippp12222ippp12jjijppp也可用表格来表示随机变量X和Y的联合分布律.例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=3}YX1301838001233800182311221231122231218.=3/8=3/831218连续型一维随机变量XX的概率密度函数1)(dxxfxtdtfxFx0)(xfRxxf定义3对于二维随机变量,XY的分布函数,,Fxy则称是连续型的二维随,XY机变量,,fxy函数称为二维（X,Y)的概率密度,随机变量三、二维连续型随机变量,,yxFxyfuvdudv存在非负的函数,,fxy如果任意有,xy使对于称为随机变量X和Y的联合概率密度.或0),(yxf1),(dxdyyxf二维连续型随机变量的概率密度具有性质,XY2,1Rfxydxdy（X,Y）的概率密度的性质:;0,.1yxf2,1;Rfxydxdy;,,,.3dxdyyxfGYXPxOyGG则有平面上的区域是设yxyxFyxf),(),(2在f(x,y)的连续点,.42.,1;fxydxdy例2设(X,Y)的概率密度是(1)求分布函数(2)2,0,0,,0,.xyexyfxy其它,;FxyPYX(2)求概率.Ouvyyx,xOuvyyx,x,,yxFxyfuvdudv,,Duvuxvy积分区域区域,0fuv,0,0uvuv解(1)Ouvyyx,xOuvyyx,x211,0,0,,0,.xyeexyFxy其它00xy或当时,,,yxFxyfuvdudv0故(2)002yxuvedudv2002yxvuedvedu211xyee0,0xy当时,,,yxFxyfuvdudv2302xxeedx1.3(2)PYX,yxfxydxdy2002xxydxedy2002xxyedxedyyxxyo第二节边缘分布二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有什么关系呢?这一节里,我们就来探求这个问题.二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数,,Fxy而和都是随机变量,XY也有各自的分布函数,分别记为,,XYFxFyXFxPXx变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.依次称为二维随机,,YFyPYyPXYyFy一、边缘分布函数,PXxY,Fx一般地，对离散型r.v(X,Y)，则(X,Y)关于X的边缘分布律为X和Y的联合分布律为,2,1,,),(jipyYxXPijji11,ijijjjPXxYyp,2,1iixXP1,jjiiyYxXxX二、离散型随机变量的边缘分布律.ip(X,Y)关于Y的边缘分布律为jyYPjiijjiippyYxXP.11,1,2,j例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}YX1301838001233800182311221231122231218.=3/8=3/831218P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{Y=1}=P{Y=3}==1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=1/8.30,1kPXkY=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.30,3kPXkYYX130183800123380018jPYyiPXx183838186828对连续型r.v(X,Y)，X和Y的联合概率密度为则(X,Y)关于X的边缘概率密度为),(yxfdyyxfxfX),()(dyyxfdxxFxFxX,,事实上,三、连续型随机变量的边缘概率密度x(X,Y)关于Y的边缘概率密度为dx)y,x(f)y(fYy例2设(X,Y)的概率密度是(2),01,0(,)0,cyxxyxfxy其它求(1)c的值；（2）两个边缘密度。=5c/24,c=24/5.100(2)xdxcyxdy解(1)21,Rfxydxdy故yxxy01x123022cxxdx例2设(X,Y)的概率密度是解求(1)c的值;(2)两个边缘密度.(2),01,0(,)0,cyxxyxfxy其它dyyxfxfX,00,,,.Xxxfxfxydyfxydyfxydy(2)xxy0yx1xxx10,,,,0,0.Xxxyfxyfx或都有故当时当时,01x暂时固定),2(5122xx注意取值范围xdyxy0)2(524综上,.,,0,10,25122其它xxxxfXxxyxxy01xx00,,,.Xxxfxfxydyfxydyfxydy当时,01x例2设(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)c的值;(2)两个边缘密度.(2),01,0(,)0,cyxxyxfxy其它dxyxfyfY,.0,0,,,,01yfyxfxyyY故都有对时或当.,,,,1011dxyxfdxyxfdxyxfyfyyyY时当yxyyy11y暂时固定0yx),2223(5242yyy1)2(524ydxxy其它,010),2223(524)(2yyyyyfY综上,注意取值范围在求连续型r.v的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分.当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限.下面我们介绍两个常见的二维分布.设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度其它,0),(,1),(GyxAyxf则称（X,Y）在G上服从均匀分布.向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）服从参数为的二维正态分布.,,,,2121其中均为常数,且,0,021,,,,21211.ρ记作（X,Y）～N().221212,,,,μμσσρ,x,y212221122122212211(),exp2121()()()2xμfxyσρπσσρxμyμyμρσσσ例3试求二维正态随机变量的边缘概率密度.,Xfxfxydy解22122212()()()2yμxμyμρσσσ2222111211()yμxμxμρρσσσ因为所以22211222111()212212121yμxμxμρσσρσXfxeedyπσσρ212211,1yμxμtρσσρ令则有22121(