计算机控制系统-5数字控制器(3)

第5章数字控制器的设计主要内容：（1）控制规律与控制器（2）数字PID算法（3）最少拍控制器重点：控制规律、算法及其实现难点：控制算法的建立5.0.概述5.1.控制规律（调节规律）5.2.模拟控制器简介5.3.数字控制器简介5.4.数字控制器设计第5章数字控制器的设计pdi1()()[()()]detutKetetdtTTdt0()()()()()kPDjITekTekTTukTKekTejTTTT00()()ktjetdtTejT()()()()|tkTdetekTekTTekTdtTT记为5.4.1数字PID算法（调节器）对离散化令有tkTpd0i1()()[()()|]kTtkTdetukTKekTetdtTTdt考虑0()(1)()()()kPDjITekekukKekejTTT或PID0()()()()kjukKekKejKek称为位置式PID算法位置式PID算法程序输入y(k)的采样值，r(k)给定值计算e(k)=r(k)－y(k)计算up(k)=Kpe(k)计算uI(k)=Kie(k)+eI(k－1)计算uD(k)=Kd[e(k)－e(k－1)]计算u(k)=up(k)+uI(k)+uD(k)返回位置式PID算法程序流程图缺点：因各次偏差要不断累加，当计算机故障时会造成控制量大幅度地变化，这会产生严重的安全后果。1、位置式PID算法适宜于阀门等执行器2、增量式PID控制算法PDI()2(1)(2)()()(1)()TekekekukKekekekTTT由位置式算法有1PD0I(1)(2)(1)(1)()kjTekekukKekejTTT两式相减，有()()(1)ukukuk即PID()()()[()(1)]ukKekKekKekek()()(1)(2)]ukAekBekCek亦即增量式PID算法程序输入y(kT)的采样值，R给定值计算e(kT)＝R－y(kT)计算up(kT)=Kp[e(kT)－e(kT－T)]计算uI(kT)=Kie(kT)计算uD(kT)=Kd[e(kT)－2e(kT－T)+e(kT－2T)]计算△u(kT)=up(kT)+uI(kT)+uD(kT)返回增量式PID算法程序流程图称为增量式PID算法适宜于步进电机等执行器二者本质相同，只是后者仅适用于有附加积分作用的执行机构。但它有如下优点：1、算式无累加，仅需4个：e(k-2)、e(k-1)、e(k)和u(k-1),占用内存少，计算方便，无累积误差。2、计算机只输出增量，误动作时影响小，必要时可增设逻辑保护；3、手动/自动切换时冲击小。PD0I()(1)()()()kjTekekukKekejTTT如果在控制系统中，如果控制器的输出表征了执行机构的位置，应采用哪种数字PID算法？若表征了执行机构的位置增量，又当如何？10.17()0.085sDss思考题课堂练习已知某连续控制器的传递函数为采样周期T=0.2s。现用数字PID算法来实现它，试分别写出其对应的位置型和增量型PID算法的表达式。s.s.sEsUsD085011701sSE.sEsSU.sU1700850dttde.tedttdu.tu1700850Tkeke.keTkuku.ku11701085015354142504251k-e.ke.ku.ku.12982.014561.21579.3kukekeku17018.014561.21579.31kukekekukuku则把T=0.2S代入得位置型增量型解：模拟化设计方法的主要缺点是采样周期的值不能取得过大，否则，会使系统性能变差。而直接数字化设计方法就克服了这个缺点，它一开始就把系统看成是纯离散系统，然后按一定的设计准则，以Z变换为工具，以脉冲传递函数为数学模型，直接设计满足指标要求的数字控制器D(z)。5.4.2最少拍控制器直接设计5.4.2.1数字控制器设计方法模拟化设计：首先把系统当成模拟系统，根据性能要求设计出D(s)，然后离散化获得D(z)，求得对应的差分方程，最后编程直接设计：根据性能要求确定Φ(z)，然后求出D(z)，并获得对应的差分方程，最后编程直接数字控制器的脉冲传递函数计算机控制系统原理图G(z)R(s)E(s)E(z)C(z)R(z)Gd(s)U(z)F(z)Gh(s)Gh(s)D(z)－+C(s))(zY)(sYD(z)——数字控制器；Gh(s)——保持器(本书用零阶保持器)；Gd(s)——控制对象传递函数；Φ(z)——系统闭环脉冲传递函数；R(z)——输入信号的Z变换；Y(z)——输出信号的Z变换。系统的闭环传递函数为()()()1()()DzGzzDzGzF也可求得控制器的传递函数为()()()()()[1()]UzzDzRzGzzFF这就是我们分析和设计数字控制器的基础和基本模型。E最少拍无静差——指系统在典型输入信号(如阶跃信号、速度信号、加速度信号等)作用下，经过最少个采样周期使系统输出的稳态误差为零。有很好的跟随性，精度高适宜于随动系统5.4.2.2最少拍无静差控制器的设计最少拍随动系统数字控制器的设计最少拍控制系统设计，也称为时间最佳系统设计，是计算机控制系统设计最有效的方法。所谓最少拍，是指在典型输入作用下，系统在有限个采样周期(有限拍)内，就能达到稳态。但只保证在采样点处无误差。系统的性能指标是调整时间最短。下面讨论最少拍控制系统的设计原理。最少拍控制系统的闭环传递函数，已经在上节中得到，这里将其作变形如下：同时可求出系统的误差传递函数为：()1()1()()1()()()1()eeUzzzEzDzGzzzFFFF)()(zRzE0101()()()()()1()()mmnnCzDzGzbbzbzzRzDzGzaazazF)(zY可导出数字控制器的传递函数为由此可看出，数字控制器与被控对象及误差z传递函数有关。并得出系统误差的Z变换为E(z)=Φe(z)R(z)012()()(0)(1)(2)()kkkEzekTzeezezekz根据Z变换的定义()()()()()()[1()]()()eUzzzDzRzGzzGzzFFFFE最少拍控制器设计要求系统在k≥N(N为正整数)时，e(k)=0(或e(k)=常数)，这样E(z)只有有限项。设计时，要求N尽可能小，即最少拍。下面介绍误差传递函数与系统输入类型的关系。典型的输入信号一般为：单位阶跃输入：()1,()(),()1zrtrkTukTRzz单位斜坡输入：112(),(),()(1)TzrttrkTkTRzz单位加速度输入：211221311(1)(),()(),()222(1)TzzrttrtkTRzz由上面三种输入的Z变换可以看出，它们都可用下式表示：1()()(1)mAzRzz其中：A(z)为不含(1-z-1)的z-1多项式。所以误差可表示为1()()()(1)emAzEzzzF为使E(z)有尽可能少的有限项，要选择适当的Φe(z)。利用Z变换的终值定理，稳态误差为1111111lim()lim(1)()lim(1)()()()lim(1)(1)kzezmzekTzEzzzRzAzzzF)(ze当要求稳态误差为零时，由于A(z)中无(1-z-1)的因子，所以Φe(z)必须含有(1-z-1)m，则Φe(z)有下列形式:Φe(z)=(1-z-1)mF(z)式中,F(z)是z-1的有限多项式，即F(z)=1+f1z-1+f2z-2+…+fnz-n由上式求出闭环z传递函数，即所以，在z=0处Φ(z)仅有极点。Φ(z)具有z-1的最高幂次，为p=m+n，这表明系统的闭环响应经过p个采样周期(p拍)，在采样点的值达到稳态。当F(z)=1，即n取最小值n=0时，系统采样点的输出达到稳态，即有限拍(m拍)内达到稳态。F(z)=1的意义是使Φ(z)的全部极点均位于Z平面的原点。1112121()1()1(1)()1(1)(1)(1)()memnnmmmzzzFzzfzfzfzzzFzzFF对于不同的输入，可以选择不同的误差z传递函数Φe(z)。选定Φe(z)后，最少拍控制器D(z)可以计算确定。当系统输入为单位阶跃输入时，Φe(z)=1-z-1可得误差和输出为：1111123()()()1(1)111()()()1eEzzRzzzCzzRzzzzzzFF)(zY()()()()()()[1()]()()eUzzzDzRzGzzGzzFFFFE比较Y与R，只在第一个采样点有误差，误差为1()1,()(),()1zrtrkTukTRzz得时域误差为：e(0)=1，e(1)=e(2)=…=0即单位阶跃输入时系统的调整时间为T，只需一拍就达到了稳态。当系统输入为单位斜坡时，Φe(z)=(1-z-1)2得误差和输出为：12121()()()(1)1(1)eEzzRzzzF11212234()()()(2)(1)234TzCzzRzzzzTzTzzF1Tz1Tz)(zY得时域误差为：e(0)=0，e(T)=T,e(2)=e(3)=…=0此时，单位阶跃输入时系统的调整时间为2T，只需两拍就达到了稳态。当系统输入为单位加速度时，Φe(z)=(1-z-1)3得误差和输出为：211131321222111231322232424(1)()()()(1)2(1)12(1)()()()(33)(1)3.5711.5eTzzEzzRzzzTzTzTzzCzzRzzzzzTzTzTzTzFF)1(1z)(zY得时域误差为：2(0)0,(1)(2),2(3)(4)00Teeeee可见，单位加速度输入时系统的调整时间为3T，只需三拍就达到了稳态。对于三种典型输入，最少拍控制系统的调整时间、误差传递函数、闭环传递函数汇总于表1。表1待设计的控制器D(z)与G(z)有关小结考虑控制器的可实现性和系统的稳定性，设计最少拍控制器应满足：（1）ts最短；（2）进入稳态后采样点处e=0；（3）物理上可实现；（4）系统必须是稳定的。010(),1,()1(),(1)GsTsRttss例1上述系统，已知00()[()()]GzZHsGs1()1eΦzz1()()()()()()eeΦzUzDzEzGzΦz试设计最少拍无静差调节器。解：由于是单位阶跃信号输入，故110[](1)TseZsss12110(1)[](1)zZss1211110(1)[]1zZsss1112111110(1)[](1)11TTzzzzez11113.68(10.718)(1)(10.368)zzzz1()()()()()()()()()eeeΦzUzΦzDzEzGzΦzGzΦz故有1111111(1)3.68(10.718)(1)(1)(10.368)zzzzzz110.2720.10010.718zz于是11()0.7180.272()0.100()UzzEzzEz即()0.718(1)0.272()0.1(1)ukukek