管理数量方法与分析-第二章-概率分布一

管理数量方法与分析第二章概率及其概率分布第二章概率及其概率分布2.1随机事件与概率2.2随机变量及其分布2.3随机变量的数字特征与独立性2.4大数定律与中心极限定理2.1随机事件与概率2.1.1随机事件2.1.2随机事件的概率2.1.3古典概型2.1.4条件概率与事件独立性2.1.1随机事件1.一些概念自然现象分为确定性现象自由落体，热胀冷缩.不确定性现象抛掷硬币出现正面还是反面.研究随机现象，即不确定性现象,是揭示随机现象数量统计规律随机现象是指在个别试验中,其试验结果呈现不确定性,但在大量重复的试验中又具有统计规律的现象.对试验对象进行一次观察或测量的过程(1)抛掷一颗骰子,观察出现的点数1,2,3,4,5,6;(2)抛掷一枚硬币,观察出现正面、反面的情况;(3)某公交站在上午8:30—9:00等车的人数0,1,2,3,，…;(4)某个灯泡的寿命[0,T].以上试验具有以下的特点(1)可以在相同的条件下重复进行(2)每次试验的可能结果可能不止一个,但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的(3)在试验结束之前,不能确定该次试验的确切结果称这样的试验为随机试验，用E表示。随机事件称可能发生也可能不发生的结果,即样本空间Ω的某个子集称为试验E的一个随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示.样本点随机试验E中每一个可能出现的结果称为基本事件或称样本点,用e或w表示样本空间随机试验E中所有可能出现的结果构成的集合为样本空间,即全体基本事件(样本点)称为样本空间,用Ω表示.简单事件不能被分解成其他事件组合的基本事件.必然事件每次试验一定出现的事件，用Ω表示.不可能事件每次试验一定不出现的事件,用Φ表示如何理解事件的发生，即在每次试验中，事件均发生是指此事件所对应的集合必有一个样本点出现.(1)包含关系SABBA如果A发生必导致B发生,则称事件A包含在事件B中..,ABBABA且(2)相等关系2.事件间的关系与运算(3)和(并)事件SAB事件A∪B发生当且仅当A,B至少发生一个.设有事件A,B,由事件A,B构成新的事件{x:x∈A或x∈B}称此事件为事件A与B的和事件.记为：A∪B(4)积(交)事件ABBASAB事件A∩B发生当且仅当A,B同时发生.设有事件A,B,由事件A,B构成新的事件{x:x∈A且x∈B},称此事件为事件A与B的积事件.记为：A∩BΩABBA(5)差事件事件A-B发生当且仅当A发生B不发生.AΩBAAB设有事件A,B,由事件A,B构成新的事件{x:xA但xB}称此事件为事件A与B的差事件.记为：A-B事件A-B与B-A是同一事件吗?(6)互不相容(互斥)ΩAABBA(7)对立事件(逆事件)SBABAΩBAΩA1A2An…...(8)设Ω为试验E的样本空间，A1,A2,…,An为E的一组事件.若满足则称A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个有限划分,也之为样本空间的一个完备事件组.;,,2,1,,,=)1(njijiAAji.)2(21nAAA例1.1在随机试验E4中，在Ω4={t|t0}事件A={t|t1000}表示“产品是次品”事件B={t|t1000}表示“产品是合格品”事件C={t|t1500}表示“产品是一级品”则A与B是互为对立事件B-C表示“产品是合格品但不是一级品”;BC表示“产品是一级品”;B∪C表示“产品是合格品”.A与C是互不相容事件2.1.2概率的定义和性质频率在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.称比值nA/n称为事件A发生的频率,并记成fn(A)。既有nnAfnA)(频率的稳定性nnHfn(H)实验者德•摩根蒲丰K•皮尔逊K•皮尔逊204840401200024000106120486019120120.51810.50960.50160.5005事件的概率在相同的条件下,若重复进行若干次(无穷次)试验,事件A发生的频率fn(A)稳定地在某一个确定值P附近摆动,称此确定的值为事件A的概率,记为：P(A)事件的概率事件A发生可能性大小的度量(数值),称为事件A的概率,记为：P(A)概率的性质;0)(P性质1性质2性质30≤P(A)≤1P(Ω)=1若事件A与B是两个互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)性质4若事件A与B是对立事件,则P(B)=1-P(A)性质5若事件A与B是任意两事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)2.1.3等可能概型（古典概型）生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：样本空间的元素只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同.我们把这类试验称为古典概型试验，又称等可能概型试验，所对应的数学模型称为古典概型.如抛掷质量均匀的硬币,从一批产品中抽取部分产品等.古典概型概率的计算公式设Ω={e1,e2,…en},事件A包含k个基本事件，即A={e1,e2,…ek},则有.)(中基本事件总数包含的基本事件数SAnkAP例2.1.2抛掷两颗质量分布均匀的骰子,求出现两个点数之和等于5的概率.解设A表示“抛掷两颗质量分布均匀的骰子,点数之和等于5”的事件。9/1364p样本空间Ω={(1,1)(1,2)…(6,5)(6,6)},共有36个基本事件数;A={(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)}此试验属于古典概型试验。骰子质量分布均匀，点数出现的可能性相同，例2.1.3书P47例题2.1；【例2.1】一个袋子里有3只白球，2只黑球，现从袋中任取2只球，求取得2只球都是白球的概率。解：设A={取得2只球都是白球}则从5只球中任取2只，共有种取法，即样本空间中的全部样本点数为n==10A包含的样本点数为m==3故P(A)===例2.1.4设有10件产品,7件正品,3件次品.求(1)不放回式,每次从中取一个,共取3次,3件均为次品的概率.(2)有放回式,每次从中取一个,共取3次,3件均为次品的概率.解设A表示“取3次，3件均为次品”的事件.此问题属于古典概型问题.由于产品的型号相同，则每个产品被取到的可能性相同，有放回与无放回抽取的样本空间中的样本点数均是有限的.（1）不放回式抽取此时样本空间Ω中的基本事件数为10×9×8。事件A所含基本事件数为3×2×1120172068910123)(AP（2）有放回式抽取此时样本空间Ω中的基本事件数为10×10×10。事件A所含基本事件数为3×3×310009101010333)(AP例2.1.5一批灯泡40只,其中有3只坏的,从中任取3只检查,求至少有一只是坏灯泡的概率.解故此属于古典概型问题设Ai表示“所取3只灯泡有i只是坏的”的事件(i=1,2,3),设B表示“所取3只灯泡中至少有1只是坏的”的事件.每个灯泡被取到的可能性相同，321AAABA1,A2,A3两两互不相容)()()()()(321321APAPAPAAAPBP所以3,2,1)(3403373iCCCAPiii而214.0988211)(313403373iiiCCCBP例2.1.5一批灯泡40只,其中有3只坏的,从中任取3只检查,求至少有一只是坏灯泡的概率.或解故此属于古典概型问题每个灯泡被取到的可能性相同，B表示“所取的3只灯泡中都是好的”的事件BB既有)(1)(BPBP214.01340337CC2.1.4条件概率与事件的独立性设A、B是某随机试验中的两个事件,且P(A)0则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率,简称为B在A之下的条件概率,记为P(B|A).条件概率设A、B是随机试验E的两个事件,且P(A)0为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,简称为B在A之下的条件概率.APABPABP则称类似地,可以定义在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，既有:BPABPBAP|1.条件概率条件概率的计算方法1.使用公式法2.缩减样本空间法即计算P(B|A)时,将样本空间Ω缩减至A上,在A的基础上计算事件B的概率.2.乘法公式由条件概率的定义APABPABP我们得ABPAPABP这就是两个事件的乘法公式．(1)两个事件的乘法公式同理得BAPBPABP(2)三个事件的乘法公式则有设A,B,C为3个随机事件，且P(ABC)0)|()|()(ABCPABPAPABCP例2.1.6设P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,求P(A|B)例2.1.7书P49例题2.4；例题2.5【例2.4】一盒中有10只晶体管，其中6只正品，4只次品，从盒中每次取1只，不放回地取两次，发现第1只是正品，求第2只也是正品的概率。解：设A={第1只是正品}；B={第2只是正品}当事件A发生（即已知取出的第1只晶体管是正品）后，盒中还有9只晶体管，其中5只是正品，在此条件下再取1只正品的概率为，即P(B|A)=【例2.5】某公司的产品合格率为0.98，而在合格品中，一等品率为0.9，求该厂生产的产品为一等品的概率。解：设A={该公司生产的产品是合格品}B={该公司生产的产品是一等品}因为一等品必须同时是合格品，所有P(AB)就是该公司生产的产品为一等品的概率。由题意知：P（A）=0.98P(B|A)=0.9故P(AB)=P(A)P(B|A)=0.98×0.9=0.8823.全概率公式和贝叶斯公式(1)全概率公式;,,2,1,,,=)1(njijiBBji.)2(21nBBB定理设B1,B2,…,Bn为试验E的样本空间Ω的一个完备事件组，且P(Bi)0.既有则对于任意事件A，均有.1nkkkBAPBPAP此公式称为全概率公式说明全概率公式的使用我们把事件A看作某一过程的结果，将B1,B2,…,Bn看做该过程的若干原因，根据历史资料，每一原因的影响程度已知,即P(A|Bk)已知.则我们可用全概率公式计算结果发生的概率P(A)．发生的概率已知,即P(Bk)0已知,且每个原因对结果(2)贝叶斯公式(逆概率公式）;,,2,1,,,=)1(njijiBBji.)2(21nBBB定理设B1,B2,…,Bn为试验E的样本空间Ω的一个完备事件组，且P(Bi)0.既有则对于任意事件A，均有此公式称为逆概率公式)|(AkBP)()(APkABPnknjjBAPjBPkBAPkBP,,2,1,1)|()()|()(说明逆概率公式的使用我们把事件A看作某一过程的结果,将B1,B2,…,Bn看做该过程的若干原因,根据历史资料,每一原因果的影响程度已知,即P(A|Bk)已知;如果已知事件A已经发生,要求此时是由第i个原因引起的概率,则用Bayes公式.发生的概率已知,即P(Bk)0已知,且每个原因对结ABPi即求说明逆概率公式是公式组,有几个原因就有几个公式.例2.1.8书P50例题2.6；【例2.6】有两箱产品，已知甲箱中有10件正品，2件次品，乙箱中有8件正品、2件次品，今从甲箱中任意取出2件产品混入乙箱，再从乙箱中任意取出一件产品，求从乙箱中取得的产品是次品的概率，若已知从乙箱中取出的产品是次品，求从甲箱中取出2件产品恰有一件次品的概率。解：设事件Bi表示“从甲箱中任意取出且混入乙箱的2件产品恰有i件次品”（i=0,1,2），则,且;又设事件A表示“从混合后的乙箱中任意取出的一件产品是次品”，则由题意知：①A=，由概率的加法公式和乘法公式得：P(A)=P(A)+P(A)+P(A)=P()P(A|)+P()P(A|)+P()P(A|)=由题中已知条件知：P()==P(A|)=P()==P(A|)=P()==P(A|)=于是有：P(A)==×＋×＋×=≈0.194②根据题意要求，由条件概率和乘法公式，得：P(|A)===例2.1.9某车间用甲、