用导数求切线方程的四种类型

第1页共3页用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()Pxy，及斜率，其求法为：设00()Pxy，是曲线()yfx上的一点，则以P的切点的切线方程为：000()()yyfxxx．若曲线()yfx在点00(())Pxfx，的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0xx．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()fx，并代入点斜式方程即可．例1曲线3231yxx在点(11)，处的切线方程为（）Ａ．34yxＢ．32yxＣ．43yxＤ．45yx解：由2()36fxxx则在点(11)，处斜率(1)3kf，故所求的切线方程为(1)3(1)yx，即32yx，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2与直线240xy的平行的抛物线2yx的切线方程是（）Ａ．230xyＢ．230xyＣ．210xyＤ．210xy解：设00()Pxy，为切点，则切点的斜率为0022xxyx|．01x∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)yx，即210xy，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为2yxb，代入2yx，得220xxb，又因为0，得1b，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32yxx上的点(11)，的切线方程．解：设想00()Pxy，为切点，则切线的斜率为02032xxyx|．∴切线方程为2000(32)()yyxxx．320000(2)(32)()yxxxxx．第2页共3页又知切线过点(11)，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)xxxx．解得01x，或012x．故所求切线方程为(12)(32)(1)yx，或13112842yx，即20xy，或5410xy．评注：可以发现直线5410xy并不以(11)，为切点，实际上是经过了点(11)，且以1728，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4求过点(20)，且与曲线1yx相切的直线方程．解：设00()Pxy，为切点，则切线的斜率为0201xxyx|．∴切线方程为00201()yyxxx，即020011()yxxxx．又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)xxx．解得000111xyx，，即20xy．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5已知函数33yxx，过点(016)A，作曲线()yfx的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33yxx，点(016)A，不在曲线上．设切点为00()Mxy，，则点M的坐标满足30003yxx．因200()3(1)fxx，故切线的方程为20003(1)()yyxxx．点(016)A，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)xxxx．化简得308x，解得02x．所以，切点为(22)M，，切线方程为9160xy．第3页共3页评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．