第6章 几类特殊矩阵.

第6章几类特殊矩阵特殊矩阵类在许多科学技术领域内，都有不同程度的应用，而且在方程数值解与数值代数的研究中，都有着一定地位。本章将综合介绍若干特殊矩阵类的性质与研究情况。6.1非负矩阵定义1设)(ijaA，)(ijbB是两个mn矩阵，如果对所有ni1，mj1恒有)(ijijijijbaba，则记)(BABA，用O表示零矩阵。如果)(OAOA，则称A为非负矩阵（正矩阵）。用A表示元素为ija的矩阵，特别地，当nTnCxxxx),,,(21L时，Tnxxxx),,,(21L表示一个非负向量引理1设A是n阶矩阵，OA的充分必要条件是对一切非零的0x，有0Ax引理2设n阶矩阵OaAij)(，则A是不可约矩阵的充分必要条件是OAIn1)(定理1（Perron-Frobenius）设OA为不可约n阶矩阵，则（1）A有一个正特征值等于它的谱半径（2）对于)(A，相应地有一正特征向量x（3）当A的任一元素增加时，)(A也增加（4）)(A是A的单特征值例1对于非负矩阵120312021A，其谱半径101)(A是它的一个正的单特征值，而属于)(A的正特征向量是T)2,10,2(，且模等于)(A的特征值就)(A一个非负不可约矩阵A的模等于)(A的特征值并非唯一的例2对于非负不可约矩阵nnA0001100001000010LLMLMMMLL，它的特征值是nkiie2，从而它的特征值的模等于1)(A定理2设OA为n阶矩阵，则（1）)(A为A的一个正特征值，相应地有一正特征向量（2）A的任何其他特征值，都有)(A（3）)(A是A的单特征值推论1正矩阵A的模等于)(A的特征值是唯一的。推论1对一般的非负矩阵未必成立例如2000030000030030A，3)(A是的特征值，但3)(A是A的二重特征值，同时，A还有异于)(A的特征值3，使得)(A定理3设OA为n阶矩阵，则（1）A有一非负特征值等于它的谱半径，此外，这特征值为正，除非A为可约并且A的法式为严格上三角矩阵（2）对应于)(A有特征向量0x（3）当A的任一元素增加时，)(A不减少定理4设A和B为两个n阶矩阵，并且ABO，则)()(AB引理6设OA为不可约n阶矩阵，则或者对所有ni1成立有njijaA1)(，或者有)(max)()(min1111njijninjijniaAa定理5设OA为不可约n阶矩阵，又设P为正向量0x的全体，则对任一Px，ijnjijxxaA1)(，对所有ni1成立，或者有)(max)()(min1111injjijniinjjijnixxaAxxa例3求不可约矩阵的谱半径001100111100110041B712217222271221761C直接观察得21)(B，2)(C定义2设OA为不可约n阶矩阵，令k为A的模等于)(A的特征值的个数。若1k时，则称A为本原矩阵，若1k时，则称A为具有指标k的循环矩阵正矩阵是本原矩阵，但本原矩阵未必都是正矩阵本原矩阵的性质：定理6设A，B均为n阶非负矩阵，且A是本原矩阵，则（1）TA也是本原矩阵（2）对任一正整数k，kA也是本原矩阵（3）BA也是本原矩阵定理7非负矩阵A是本原矩阵的充分必要条件是存在某个正整数k，使得OAk定义1设nnijRaA)(是非负矩阵，如果A的每一行的元素之和都等于1，即),,2,1(11nianjijL则称A为随机矩阵；如果A还满足),,2,1(11njaniijL，则称A为双随机矩阵6.2随机矩阵与双随机矩阵定理1设nnijRaA)(是随机矩阵，则有1)(A定理2n阶非负矩阵A是随机矩阵的充分必要条件是Tx)1,,1,1(L为A的对应于特征值1的特征向量，即xAx同阶随机矩阵之积仍是随机矩阵定理3设n阶非负矩阵A的谱半径0)(A，对应的特征向量0),,,(21TnxxxxL，则矩阵A能相似于数)(A与某个随机矩阵P的乘积，即1))((DPADA，其中),,(1nxxdiagDL，即)(1AADD是随机矩阵设某个过程或系统可能出现n个随机事件nSS,,1L，且在时间序列L,,,210ttt的每一瞬间，这些事件有一个且只有一个能够出现。如果在时刻)1(1ktk处于事件iS，则下一时刻kt将以概率(k)ijp转移到事件jS。若对所有1k，概率(k)ijp与k无关，则称这个过程为纯马尔科夫链当给出了条件概率矩阵nnijpP)(时，显然满足1,01njijijpp，即P是随机矩阵，称之为该过程的转移矩阵在实际应用中常要考虑随机矩阵的幂序列的收敛性定理4设A为不可约随机矩阵，则极限mmAlim存在的充分必要条件是A为本原矩阵例1某区人口流动问题的研究，出现随机矩阵021212102121210P的幂mP的极限问题。由于OPI,故P不可约，又因为OP2，所以P是本原矩阵，mmPlim存在定理5设nnRA为双随机矩阵，则（1）1)(A，且Tx)1,,1,1(L是A与TA对应于1的特征向量（2）12A证明设为A的特征值，其对应的特征向量为)0(xx，即xAx，写成分量形式为njijijxxa1，（ni,,2,1）或nijjjijiiixaxa1)(．（ni,,2,1）设tx为x的各分量中模最大的一个，则0tx，当ti时有ntjjjtjtttxaxa1)(，两边除以tx并取模得ntjjtjtjttxxaa1||||tntjjtjRa1||)(A，所以tS，即iniSS1．例3设nnijCaA)(，若),,2,1(0niaiiL且按行严格对角占优，证明A的特征值的实部小于零推论2设nnijCaA)(，又设njija1max，则)(A.推论3设nnijCaA)(，又设nkkja1max，则)(A.推论4设nnijCaA)(，又nxxx,,,21L为任意n个正数，设ijnjijxxa11max，ijniijxxa11max则),min()(11A.例4设001100111100110041B，若,2,13241xxxx则4311，43)(B若,13241xxxx则2111，21)(B定理9设nnijCaA)(为不可约矩阵，又假定A的一个特征值是圆iiiRaz的并集的一个边界点，则所有n个圆周iiiRaz都通过点推论5设nnijCaA)(为不可约矩阵，nxxx,,,21L为任意n个正实数，如果对所有的ni1有ijnjijxxa1，并且至少有一个严格不等式成立，则)(A。如果对所有的nj1有iniijjxax11，并且至少有一个严格不等式成立，则)(A。例5估计矩阵iA21.03.02.05.032.03.04.03.001.03.01.02.01的特征值的分布范围．解A的四个盖尔圆为:1S6.0|1|z，:2S8.0||z，:3S1|3|z，:4S6.0|2|iz．所以A的特征值都落在这四个盖尔圆的并集内．在例5中，圆盘1S与2S相交，21SS构成一个连通区域，而3S与4S是孤立的．一般地，由矩阵的k个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域称为一个连通部分，并说它是由k个盖尔圆组成．一个孤立的盖尔圆组成一个连通部分．圆盘定理1只说明矩阵的特征值均在其全部盖尔圆的并集内，并没有明确指出哪个盖尔圆中有多少个特征值，圆盘定理2更准确地说明特征值的分布情况．定理10（圆盘定理2）设矩阵A的n个盖尔圆中有k个互相连通且与其余kn个不相交，则这个连通区域中恰有A的k个特征值(当A的主对角线上有相同元素时，则按重复次数计算，有特征值相同时也按重复次数计算)．从定理10可知，由一个盖尔圆组成的连通部分有且仅有一个特征值，由两个盖尔圆组成的连通部分有且仅有两个特征值，但可能这两个特征值都落在一个圆盘中，而另一个圆盘中没有特征值．例如矩阵05.08.01A的特征方程为04.02，所以A的特征值为26.011i，26.012i．A的两个盖尔圆为8.0|1|z，5.0||z．由于5.063.04.0||||21．所以这两个特征值都不落在圆盘5.0||z内．推论6设n阶矩阵A的n个盖尔圆两两互不相交（都是孤立的），则A相似于对角矩阵．推论7设n阶实矩阵A的n个盖尔圆两两互不相交，则A的特征值全为实数．证明因为A为实矩阵，所以A的n个盖尔圆都关于实轴对称．又由这n个盖尔圆两两互不相交知，A的n个特征值互不相等，且每个盖尔圆内恰含有一个特征值．因为，如果实矩阵有复特征值，则一定成对出现，且在复平面上关于实轴对称，所以若有一个复特征值在某个盖尔圆内，则与其成共轭的特征值也一定在该盖尔圆内，这与定理10的结论相矛盾，所以A的特征值都是实数．例6证明n阶矩阵nnnnnnnnnnA211111411122能与对角矩阵相似，且A的特征值都是实数．证明A的n个盖尔圆为1S：1|2|z，kS：nnkz1|2|．),,3,2(nk它们两两互不相交，又因为A为实矩阵，所以由推论知A的特征值都是实数．定义1中的圆盘通常称为矩阵的行盖尔圆，类似地可定义矩阵的列盖尔圆．定义2设nnijCaA)(，则称圆盘CzRazzGjjjj,为矩阵A在复平面上的第j个列盖尔圆（nj,,2,1），其中njiiijjjaARR1||)(（nj,,2,1）称为jG的半径．因为矩阵A与TA有相同的特征值，所以若对矩阵TA应用圆盘定理1与圆盘定理2，则得到关于矩阵A的列的圆盘定理．推论8设nnijCaA)(，则A的一切特征值都在它的n个列盖尔圆的并集之内，即A的任一特征值满足jnjGG1．推论9设矩阵A的n个列盖尔圆中有k个互相连通且与其余kn个不相交，则这个连通区域中恰有A的k个特征值(当A的主对角线上有相同元素时，则按重复次数计算，有特征值相同时也按重复次数计算)．推论10设nnijCaA)(，则A的一切特征值都在平面区域)(1iniST)(1jnjG之中．取行盖尔圆的并集与列盖尔圆的并集的交一般可以得到比较满意的特征值估计．例7隔离矩阵iiA225.05.025.05.0125.05.025.002125.025.025.05.02的特征值．解A的四个行盖尔圆为:1S1|2|z，:2S5.0|)21(|iz，:3S25.1|1|z，:4S25.1|)22(|iz．其中1S与2S是孤立的圆盘，因而各含有A的一个特征值，3S与4S连通，并集43SS含有A的两个特征值．A的四个列盖尔圆为:1G1|2|z，:2G25.1|)21(|iz，:3G75.0|1|z，:4G1|)22(|iz．其中3G与4G是孤立的圆盘，因而含在43SS内的两个特征值一个在3G内，一个在4G内．隔离矩阵的特征值除了上述方法外，还有其它方法．设nnijCaA)(，P为n阶可逆矩阵，则APPB1与A有相同的特征值，对B应用圆盘定理有时可能得到更