上海高中数学暑假补习班 上海高一数学暑假辅导班 高一数学_函数模型的应用实例

2020/2/26开始新王牌学点一学点二学点三2020/2/262.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤：第一步，，；第二步，根据所给模型，列出函数关系式；第三步，；第四步，再将所得结论转译成具体问题的解答.1.我们目前已学习了以下几种函数：一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数.（试在横线上依次填出其解析式.）y=kx+b（k≠0）y=ax2+bx+c(a≠0)y=ax(a0,且a≠1)y=logax(a0,且a≠1)y=xα(α为常数)审清题意设立变量利用函数关系求解返回2020/2/263.在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：（1）能够根据原始数据、表格、绘出散点图；（2）通过考查散点图，画出“最贴近”的曲线，即;（3）根据所学函数知识，求出拟合曲线的;（4）利用函数关系，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.拟合曲线函数解析式返回2020/2/26学点一函数图象的应用向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）【分析】由函数图象可知函数的性质，如单调性等.考查图象常用特殊点验证.B返回2020/2/26【解析】解法一：由图知注水量V随着高度的增加，增加的越来越慢，∴瓶子应越来越细.故应选B.解法二：（中点判断法）取h=，如图所示三点A，B，C，显VBVC=，即水高度达到瓶子一半时，水的体积超过瓶子的一半，显然应下粗上细.故应选B.2H2VA【评析】抓住函数图象的变化趋势，定性地研究两个变量之间的关系，是近年来常见应用题的一种题型，其出发点是函数的图象，处理问题的基本方法就是数形结合.返回2020/2/26一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了.图中能基本上反映出亮亮这一天（0时~24时）体温的变化情况的是（）（设T=f(x)，显然在t∈［0,6］,［6,12］,［12,18］,［18,24］时，f(t)依次为增、减、增、减函数.故应选C.）C返回2020/2/26某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与服药后的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y=k·at(t≥1,a0，且k,a是常数)的图象.（1）写出服药后y关于t的函数关系式；返回学点二已知函数模型解实际问题（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时治疗疾病有效.假若某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应该在当天几点钟？2020/2/26（3）若按（2）中的最迟时间第二次服药，则服药后再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为多少微克？（精确到0.1微克）返回【分析】待定系数法求函数解析式是一种求函数解析式的基本题型.（1）当0≤t1时，y=8t,当t≥1时，把A，B的坐标分别代入y=k·at,得ka=8a=22ka7=1.k=82.因此，y与t的函数关系式为8t,0≤t1,t≥1.t)22(28解得y【解析】2020/2/26（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，依题意得t≥1,=2,解得t=5,因此，第二次服药最迟应在第一次服药5小时后，即上午11时服药.（3）第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服的药的药量为y1==微克，含第二次所服的药的药量为y2==4微克，y1+y2=+4=4.7微克.答：该病人每毫升血液中含药约为4.7微克.t)22(283)22(28228)22(2822返回2020/2/26【评析】这类题目主要有两类：一是已知函数解析式形式，只需求待定系数，较容易；二是根据题目所给条件，能够列出两个变量x,y之间的关系式，从而得出函数解析式，这类题目的关键是审清题意，弄清常量、变量等诸元素之间的关系，在前几年的高考题目中，占有较大比例.返回2020/2/26物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T-Ta=(T0-Ta)×.其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到35℃时，需要多长时间？h20)21(返回2020/2/26设半衰期为h，由题意知40-24=(88-24)×,即,解之得h=10,故原式可化简为T-24=(88-24)×,当T=35时，代入上式，得35-24=（88-24）×,即=,两边取对数，用计算器求得t≈25.因此，约需要25min可降温到35℃.h20)21(h20)21(4110t)21(10t)21(10t)21(6411返回2020/2/26学点三拟合函数某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·bx+c(其中a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.【分析】此题想判断哪个函数最好，可以先通过前三个月给出的条件，确定两种模拟函数中参数的值，再由4月份的产量，比较哪个函数值更接近1.37万.返回2020/2/26【解析】设y1=f(x)=px2+qx+r(p≠0)，则f(1)=p+q+r=1f(2)=4p+2q+r=1.2f(3)=9p+3q+r=1.3,解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.∴f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3,再设y2=g(x)=abx+c(a≠0,b0,b≠1)，则g(1)=ab+c=1g(2)=ab2+c=1.2g(3)=ab3+c=1.3.解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35.经比较可知用y=-0.8×(0.5)x+1.4作为模拟函数较好.返回2020/2/26【评析】问题中给出函数关系式,且关系式中带有需确定的参数,这些参数需要根据问题的内容或性质来确定,然后再通过运用函数使问题本身获解.返回2020/2/2618世纪70年代,德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均（天文单位）如下表：他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？行星1(金星)2(地球)3(火星)4（）5(木星)6(土星)7（）距离0.71.01.65.210.0返回2020/2/26由数值对应表作散点图如图.由图采用指数型函数作模型,设f(x)=a·bx+c.代入(1,0.7),(2,1.0),(3,1.6)得ab+c=0.7①ab2+c=1.0②ab3+c=1.6③,(③-②)÷(②-①)得b=2,代入①②,2a+c=0.7a=4a+c=1.0,c=解得得20352返回2020/2/26∴f(x)=·2x+.∵f(5)==5.2,f(6)=10,∴符合对应表值,∴f(4)=2.8,f(7)=19.6,所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处.在土星外面是天王星,它与太阳的距离大约是19.6天文单位.20352526返回2020/2/261.怎样理解“数学建模”和实际问题的关系？一般来说，对问题进行修改和简化，形成一种比较精确和简洁的表述，这时可称之为“实际模型”，它和“实际原形”不同，因为它被简化了，不是实际问题所有方面都得到了体现.而是在得到一个“实际模型”之后，再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系，得到的结果是一个“数学模型”.在“数学建模”中要把握好下列几个问题：（1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.（2）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.2.怎样才能搞好“数学建模”？返回2020/2/26（3）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.（4）检验模型：将所求的结果代回模型中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.（5）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进，并重复上述步骤.3.“数学建模”中要注意什么问题？（1）有的应用题文字叙述冗长，或者选择的知识背景较为陌生，处理时，要注意认真、耐心地阅读和理解题意.（2）解决函数应用题时要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来求解，则可使应用题化生为熟，尽快得到解决.返回2020/2/261.如果实际问题中的规律很难用一个统一的关系式表示，可考虑用分段函数来表示它.另外，在实际问题的计算中应注意统一单位.2.分类讨论建立函数模型在实际问题中较为常见，应引起充分注意.3.建立“数学模型”常用的分析方法：（1）关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法.（2）列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法.返回2020/2/26（3）图象分析法：即通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法.4.解函数应用题的示意图：分析、联想抽象、转化建立函数模型数学推演数学结果反译实际结果回反译推演数学分析、联想抽象、转化回答实际问题实际结果建立函数模型数学结果返回2020/2/26