2-1-一维随机变量及其分布-(1)

下回停一、随机变量的定义二、分布函数的性质第一节一维随机变量及其分布(1)概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的,为了更方便有力的研究随机现象,就要用数学分析的方法来研究,因此为了便于数学上的推导和计算,就需将任意的随机事件数量化,当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时,就建立起了随机变量的概念.1.随机变量的引入一、随机变量的定义实例1在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.非数量?可采用下列方法红色白色)(eXR10将数量化={红色、白色}即有X(红色)=1,X(白色)=0..,0,,1)(白色红色eeeX这样便将非数量的={红色、白色}数量化了.实例2抛掷骰子,观察出现的点数.,3)3(,2)2(,1)1(XXX,6)6(,5)5(,4)4(XXX).6,5,4,3,2,1(,61}{iiXP={1、2、3、4、5、6}样本点本身就是数量恒等变换且有eeX)(则有2.随机变量的定义定义2.1设E是随机试验，其样本空间为={}.若对于每一个样本点，都有唯一的实数值X()与之对应，则称定义在样本空间={}上的单值实函数X()为随机变量，简记为X.常用X，Y，Z，…表示随机变量；用x,y,z,…表示X，Y，Z，…的取值.随机变量X与高等数学中的实函数有本质的区别：样本空间，而不一定是实数集；2)X的取值是随机的，它的每一个可能取值都2º任何随机事件都可以通过随机变量来表示.即对于任意实数x,{X≤x}是随机事件.有一定的概率；3º对于随机变量,我们常常关心它的取值.注1)随机变量X是R上的映射,其定义域是1º二、分布函数及其性质}{)(xXPxFx为随机变量X的分布函数.1.分布函数的定义定义2.2称了随机变量分布函数的概念.记作X～F(x)或X～FX(x).如果我们对随机事件{X≤x}求概率,就引出1º如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布函数F(x)的值表示X落在区间(-,x]的概率.xxXxxXPxF),()(注.问：在上式中，X,x皆为变量.二者有什么区别？x起什么作用？F(x)是不是概率？X是随机变量,x是参变量.F(x)是随机变量X取值不大于x的概率.2º有了分布函数，就可研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.3º分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量.2.分布函数的性质;,1)(0)1(RxxF是单调不减的；)()2(xF;0)(lim)()3(xFFx;1)(lim)(xFFx为右连续，即)()4(xF.),()(lim0000RxxFxFxx由于对于任意的)(,xFRx10)(xF为一概率,根据概率公理化定义,有由于对于),,(Rbaab)()()()(aXPbXPaFbF0)(bXaP.)(单调不减所以xF证;,1)(0)1(RxxF是单调不减的；)()2(xFnnXnPXP)1()(,1)(0)(xFxF单调不减，又nnFnF)()1(),(1,Znnxnx有对于任意实数1)(lim)(limmFnFmn.1)(0),1()()(nFnFxFnF所以;0)(lim)()3(xFFx;1)(lim)(xFFx)()(lim)(lim存在进而mFxFmx)()(lim)(lim存在nFxFnx1)(lim)(limxFxFxx于是1)()(FF即1)()()(1FFF,1)(F0)(F证明要用到较多的测度论的知识,这里从略.注1º可以证明：一个函数若具有上述性质,则此函数一定是某个随机变量的分布函数.为右连续，即)()4(xF.),()(lim0000RxxFxFxx2º重要公式);(}{)1(bFbXP);()(}{)2(aFbFbXaP);(1}{)3(aFaXP);0(}{)4(bFbXP.),0()()()5(RbbFbFbXP例3的分布函数为：已知随机变量X.0,0,0,e)(xxBAxFx.0的值，为常数，求常数其中BA解F()1由，得)e(lim)(lim)(1xxxBAxFF1AA由分布函数的右连续性，得0)0()e(lim)00(0FBAFxx0)0(BAF即1AB一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任解例4一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.xR,FxPXx(){}x02,当x0,当PXxkx2{0},FxPXx(){}=0,FxPXx(){}=PXPXx{0}{0}故X的分布函数为.2,1,20,4,0,0)(2xxxxxFx02,当时PXxkxk2{0},.是常数021PX{},由,14k得.41k即x2,当FxPXx(){}=PXPXPXx{0}{02}{2}PX{02}1,内容小结1.随机变量是一个函数，是定义在样本空间上2.随机变量分为离散型和非离散型,其中非离3.随机变量分布函数的概念.}{)(xXPxF的函数.散型包括连续型和其它类型.;,1)(0)1(RxxF是单调不减的；)()2(xF;0)(lim)()3(xFFx;1)(lim)(xFFx为右连续，即)()4(xF4.分布函数的性质..),()(lim0000RxxFxFxx思考题.1,1,11,2/1,1,0)(xxxxF.,1,,11反面正面X不同的随机变量,他们的分布函数一定不相同吗?解不一定.例如抛均匀硬币,令X1与X2在样本空间上对应法则不同,是两个不同的随机变量,但它们却有相同的分布函数..,1,,12正面反面X备用题xxBAxFarctan)(例3-1设连续型随机变量X的分布函数为:求:(1)常系数A及B;(2)随机变量X落在(-1,1)内的概率.解(1)根据分布函数的性质可知0)(,1)(FF依题意可得12π)(BAF02π)(BAFπ1,21BA联立上面两个方程可以解得(2)随机变量X落在(-1,1)内的概率可以表示为)4ππ121()4ππ121()1()01(}11{FFXP21例4-1.,0,,1反面正面X21}1{}0{XPXP抛掷均匀硬币求随机变量X的分布函数.解时当0X}0{)(xXPxF,0,10时当x}{)(xXPxF}0{XP;21,1时当x}{)(xXPxF}0{XP}1{XP2121.1.1,1,10,21,0,0)(xxxxF得