2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(Word解析版)2014.4

2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷第1页共4页2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2014.4一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．设集合{|41}AxxkkZ，，{|42}BxxkkZ，，{|43}CxxkkZ，，若aA，bB，cC，则（▲）A．abcAB．abcBC．abcCD．abcABC2．函数1yxxx的定义域为（▲）A．|0xx≥B．|1xx≥C.|10xx≥D．|01xx≤≤3．设lnx，2log5y，12ze，则（▲）A．xyzB．zxyC．zyxD．xzy4．若直线6x是函数3sincosfxxx的图像的一条对称轴，则当取最小正数时，fx在（▲）单调递减A．,36B．,63C．,06D．0,65．若3sin5()2，cos()sin，则tan()（▲）A．2B．1C．2D．2586．设a，b，c都是非零平面向量，且a，b不共线，则关于x的方程2xx0abc的解的情况是（▲）A．至多有一个解B．至少有一个解C．至多有两个解D．可能有无数个解7．设函数()sin1fxxx，若过点(0,1)P的动直线与该函数图像交于k个点，则这k个点的纵坐标之和为（▲）A．1B．3C．2kD．k8．设函数243fxxx，2010xxgxxx≤，，，，则关于x的方程1gfx的实根个数为（▲）A．2B．3C．4D．52014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷第2页共4页9．设Q是有理数集，集合2XxxababQ，，，在下列集合：（1）21xxX，（2）2xxX，（3）12xxX，（4）2xxX中，和X相同的集合有（▲）A．1个B．2个C．3个D．4个10．在平面直角坐标系xOy中，将函数31yxx的图像绕坐标原点O顺时针旋转角0≤，得到曲线C，若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图像，记0为的最大值，则0tan（▲）A．12B．13C．12D．13二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11．设扇形的周长为8cm，面积为24cm，则该扇形的圆心角的弧度数是▲.12．已知1e，2e均为单位向量，且1e，2e的夹角为60，若12=+aee，12=-4+2bee，则a与b的夹角为▲.13．方程26211xxxx的解集为▲.14．如图，扇形OAB的半径为2，圆心角为120，Q为AB上一点，点P为线段OQ上一点，且(1)(1)OPtOAtOBOt≤≤，则||||OPOQ的最小值为▲.15．若关于x的方程21axbxc0a有且仅有四个实根1234xxxx，，，，其中1234xxxx，且412xx，则a的取值范围为▲.16．求值：2222sin10sin30sin50sin70=▲.（用数字作答）17．函数1sin22sinfxxx的值域是▲.三、解答题：本大题共3小题，共51分．BOAQP2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷第3页共4页18．（本题满分15分）已知函数243()2sintancos632xfxx，0，，且()322f.（I）求；（II）当,2x时，求函数()yfx的值域.19．（本题满分18分）已知向量cos,sinaxxm，1,0n，函数||fxmn.（I）当2a时，求fx的值域；（II）当且仅当2xkkZ时，fx取最小值，求正数a的取值范围；（III）是否存在正数a，使得对于任意的x，cosfxax为定值？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.20．（本题满分18分）已知、是关于x的二次方程210xtx的两个实根，且，函数22()1xtfxx．（I）求)()(ff的值；（II）试判断fx在区间,内的单调性，并说明你的理由；（III）求证：对任意的正数，，都有||ff．2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷第4页共4页2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．设集合{|41}AxxkkZ，，{|42}BxxkkZ，，{|43}CxxkkZ，，若aA，bB，cC，则（▲）解析：设41ak，42bm，43cn，kmnZ，，，则416481263212abckmnmnkmkmkmn，故选B.2．函数1yxxx的定义域为（▲）A．|0xx≥B．|1xx≥C.|10xx≥D．|01xx≤≤解析：100xxx≥，≥，即1x≥或0x，故选C.3．设lnx，2log5y，12ze，则（▲）A．xyzB．zxyC．zyxD．xzy解析：1221ln2log5e，故选B.4．若直线6x是函数3sincosfxxx的图像的一条对称轴，则当取最小正数时，fx在（▲）单调递减A．,36B．,63C．,06D．0,6解析：2sin6fxx，2626662fkk，故的最小正值为2，此时2sin26fxx，在,36上单调递增，在2,63上单调递减，故选B.5．若3sin5()2，且cos()sin，则tan()（▲）A．2B．1C．2D．258解析：由题意4cos5，2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷第5页共4页cossinsincossincos故1sintan2cos，选A.6．设a，b，c都是非零平面向量，且a，b不共线，则关于x的方程2xx0abc的解的情况是（▲）A．至多有一个解B．至少有一个解C．至多有两个解D．可能有无数个解解析：由平面向量基本定理知，存在唯一确定的,，使得cab，故选A.7．设函数()sin1fxxx，若过点(0,1)P的动直线与该函数图像交于k个点，则这k个点的纵坐标之和为（▲）A．1B．3C．2kD．k解析：函数()fx关于点0,1中心对称，故选D.8．设函数243fxxx，2010xxgxxx≤，，，，则关于x的方程1gfx的实根个数为（▲）A．2B．3C．4D．5解析：由题意知，0fx或1，又2430xx或1，故根集为1,3,22，选C．9．设Q是有理数集，集合2XxxababQ，，，在下列集合：（1）21xxX，（2）2xxX，（3）12xxX，（4）2xxX中，和X相同的集合有（▲）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：易证集合（1）（2）（3）都与X相同，但集合（4）与X不同，因为集合（4）中的元素必为非负数，选C．10．在平面直角坐标系xOy中，将函数31yxx的图像绕坐标原点O顺时针旋转角0≤，得到曲线C，若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图像，记0为的最大值，则0tan（▲）A．12B．13C．12D．132014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷第6页共4页解析：31yxx可分三段画出图像，有两部分图像平行于x轴，逆时针旋转坐标轴，由图像可知选C.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11．设扇形的周长为8cm，面积为24cm，则扇形的圆心角的弧度数是▲.解析：设半径为r，圆心角为，则2288rrr，解得2r12．已知1e，2e均为单位向量，且1e，2e的夹角为60，若12=+aee，12=-4+2bee，则a与b的夹角为▲.解析：||3a，||23b，3ab，1cos2，ab，故a与b的夹角为12013．方程26211xxxx的解集为▲.解析：若211xx，解得2x或1；若211xx，解得0x或1，验证成立；若260xx，解得3x或2，故解集为0,1,2,314．如图，扇形OAB的半径为2，圆心角为120，Q为AB上一点，点P为线段OQ上一点，且(1)(1)OPtOAtOBOt≤≤，则||||OPOQ的最小值为▲.15．若关于x的方程21axbxc0a有且仅有四个实根1234xxxx，，，，其中1234xxxx，且412xx，则a的取值范围为▲.解析：由题意知结论与b无关，不妨设0b，则23,xx为方程210axc的两个实根，故10c，即1c.而14,xx为方程210axc的两个实根，故411222cxxaa，故222a，即2a，故答案为2,.16．求值：2222sin10sin30sin50sin70=▲（用数字作答）解析：222211cos201cos1001cos140sin10sin30sin50sin704222BOAQP2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷第7页共4页7171cos40cos80cos20cos6020cos6020cos20424274．17．函数1sin22sinfxxx的值域是▲解析：只需考虑35[,)44x的情形即可512sincos44sincos2sin321sincos44xxxfxxxxxxx≤，，，≤5422sin443422sin44xxxx≤，，，≤，其中，均为锐角，且tan21，tan21，故当544x≤时，1422fx≤；当344x≤时，1422fx≤≤，故fx的值域为1,422．三、解答题：本大题共3小题，共51分．18．（本题满分15分）已知函数243()2sintancos632xfxx，0，，且()322f.（I）求；（II）当,2x时，求函数()yfx的值域.（1）因为243431()2sintancos3tan322263432f，所以tan3，又0,，故3；----------5分（2）由（1）得，2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷第8页共4页2243()2sintancos2sin4cos63262xxfxxx3sincos2(1cos)3sincos22sin()26xxxxxx，所以()()2sin()22sin()23366yfxfxxx，----------10分因为2x≤≤，所以27366x≤≤，即13sin()262x≤≤，即32sin()2326x≤≤，因此，函数()yfx的值域为3,32