2018-2019学年辽宁省大连市育明高中高一(上)期中数学题(解析版)

第1页共17页2018-2019学年辽宁省大连市育明高中高一（上）期中数学题一、单选题1．设集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则M∩N等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据指数函数的图象先明确集合A，而后由交集的定义得结果．【详解】解：N={y|y＞0}，M∩N=（-1，3）∩（0，+∞）=（0，3）．故选：C．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．是基础题．2．全称命题“∀x∈R，+2x+1≥0”的否定是（）A．，B．，C．，D．以上都不对【答案】B【解析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定．【详解】解：命题的否定，须将量词与结论同时否定．∴命题“∀x∈R，+2x+1≥0”的否定是：∃x∈R，+2x+1＜0故选：B．【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题，注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．3．已知函数y=f（x+1）的定义域为[-2，6]，则函数y=f（3-4x）的定义域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知函数的定义域求得f（x）的定义域，再由3-4x在f（x）的定义域内求第2页共17页得x的范围得答案．【详解】解：∵函数y=f（x+1）的定义域为[-2，6]，即-2≤x≤6，得-1≤x+1≤7，∴f（x）的定义域为[-1，7]，由-1≤3-4x≤7，可得-1≤x≤1．∴函数y=f（3-4x）的定义域是[-1，1]．故选：A．【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4．已知函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，3）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，3]上是减函数，即说明（-∞，3]是函数f（x）的减区间的子集．【详解】解：函数f（x）=x2+2（a-1）x+2的单调减区间为（-∞，1-a]，又f（x）在区间（-∞，3]上是减函数，所以有（-∞，3]⊆（-∞，1-a]，所以3≤1-a，解得a≤-2，即实数a的取值范围为（-∞，-2]．故选：C．【点睛】本题考查函数单调性的性质，函数f（x）在某区间上单调，意味着该区间为函数单调区间的子集，而未必是单调区间．5．下列函数是偶函数且在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．C．D．第3页共17页【答案】D【解析】由函数y为偶函数，但在（0，+∞）上是减函数，可判断A；由函数y为非奇非偶函数可判断B；由函数y为奇函数可判断C；运用复合函数的单调性：同增异减，结合指数函数和二次函数的单调性，可判断D．【详解】对于A，y为偶函数，但在（0，+∞）上是减函数，A不符题意；对于B，y＝10|x﹣1|为非奇非偶函数，B不符题意；对于C，y＝x3为奇函数，C不符题意；对于D，y为偶函数，令t＝﹣x2+1，则y＝（）t，由t＝﹣x2+1在（0，+∞）上是减函数，y＝（）t在（0，+∞）上是减函数，即有y在（0，+∞）上是增函数，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法和复合函数的单调性：同增异减，考查推理能力，属于中档题．6．关于x的不等式mx2+2mx-1＜0恒成立的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】关于x的不等式mx2+2mx-1＜0恒成立，m=0时，可得：-1＜0．m≠0时，可得：，解得m范围．【详解】解：关于x的不等式mx2+2mx-1＜0恒成立，m=0时，可得：-1＜0．m≠0时，可得：，解得-1＜m＜0．综上可得：-1＜m≤0．第4页共17页∴关于x的不等式mx2+2mx-1＜0恒成立的一个充分不必要条件是．故选：A．【点睛】本题考查了不等式的解法、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．已知函数，则函数f（x）（）A．有最小值B．有最小值2C．有最大值D．有最大值【答案】D【解析】令x+2=t，则t＜0，把已知函数进行转化为f（t），分离变量后利用基本不等式可求【详解】∵x＜﹣2，∴x+2＜0，令x+2＝t，则t＜0∵f（x），∴f（t）[（﹣t）+（）]﹣4≤﹣2﹣4＝﹣6当且仅当t且t＜0即t＝﹣1，从而有x＝﹣3时取最大值﹣6故选：D．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是条件的变换及配凑．8．已知关于x的方程为2kx2﹣2x﹣5k﹣2＝0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】讨论方程的类型和抛物线的开口后，根据图象列式可得．【详解】第5页共17页令f（x）＝2kx2﹣2x﹣5k﹣2，当k＞0时，开口向上的抛物线与x轴的两个交点，一个在（1，0）的左边，一个在（1，0）的右边，所以有：f（1）＜0，即2k﹣2﹣5k﹣2＜0，解得：k，∴k＞0，当k＝0时，f（x）＝0只有一个实根，不符合题意；当k＜0时，开口向下的抛物线与x轴的两个交点，一个在（1，0）的左边，一个在（1，0）的右边，所以有：f（1）＞0，即2k﹣2﹣5k﹣2＞0，解得：k，综上所述：k或k＞0故选：D．【点睛】（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式。（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．9．已知函数是定义域（-∞，+∞）上的单调递减函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．【详解】函数，f（x）是定义域（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，则满足，解得，第6页共17页故选：B．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式关系是解决本题的关键．10．有下列四个命题：①已知-1＜a＜b＜0，则0.3a＞a2＞ab；②若正实数a、b满足a+b=1，则ab有最大值；③若正实数a、b满足a+b=1，则有最大值；④∀x，y∈（0，+∞），x3+y3＞x2y+xy2．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由不等式的性质和指数函数的单调性可判断①；由基本不等式可判断②③；运用作差法和因式分解，可判断④．【详解】①已知﹣1＜a＜b＜0，则0.3a＞1，1＞a2＞ab＞0，即有0.3a＞a2＞ab正确；②若正实数a、b满足a+b＝1，则ab≤（）2，有最大值正确；③若正实数a、b满足a+b＝1，则，有最大值正确；④∀x，y∈（0，+∞），x3+y3﹣x2y﹣xy2＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）＝（x﹣y）2（x+y）＞0恒成立，故正确．故选：D．【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查不等式的大小比较，化简运算能力，属于基础题．11．已知函数f（x）=+1（a＞0，a≠1）图象过定点A，且点A在直线ax+by=6上，其中a、b为正实数，则的最小值为（）第7页共17页A．B．C．D．【答案】A【解析】先求定点A的坐标为（1，2），代入直线ax+by=6可得2a+3b=6，变形后利用1的代换，进而利用基本不等式即可求解．【详解】函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A的坐标为（1，2），代入直线ax+by﹣6＝0可得a+2b＝6，∴a+2+2（b+1）＝10，∴（）[（2+a）+2（1+b）]（3），当且仅当且a+2b＝6时取等号，故选：A．【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误12．，则函数y=f[f（x）]的零点个数为（）A．7B．6C．5D．3【答案】A【解析】因为y=f[f（x）]的零点个数⇔f[f（x）]=0的根的个数，令t=f（x），则f（t）=0，画出y=f（x）的图象，先判断出方程f（t）=0有3个根，再根据每个根的范围，结合图象判断t=f（x）的根的个数即可．【详解】因为y＝f[f（x）]的零点个数⇔f[f（x）]＝0的根的个数，令t＝f（x），则f（t）＝0y＝f（x）的图象如图所示：第8页共17页由图可知：f（t）＝0有三个根，t1∈（﹣6，﹣4），t2∈（﹣2，0），t3∈（0，2），∴当t1＝f（x）时，由图可知方程有且只有一个根；当t2＝f（x）时，由图可知方程有三个实根；当t3＝f（x）时，由图可知方程有三个根，综上所述：y＝f[f（x）]有7个零点．故选：A．【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．f（2x-1）=x4-2x2+x+2，则f（3）=______．【答案】12第9页共17页【解析】由f（2x-1）=x4-2x2+x+2，f（3）=f（2×2-1），能求出结果．【详解】∵f（2x﹣1）＝x4﹣2x2+x+2，∴f（3）＝f（2×2﹣1）＝24﹣2×22+2+2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．函数的单调增区间为______．【答案】[-1，1]【解析】先求函数f（x）的定义域，函数可看作由y，t＝﹣x2+2x+3复合而成的，又y单调递增，要求函数的单调增区间，只需求t＝﹣x2+2x+3的增区间即可，注意在定义域内求．【详解】由﹣x2+2x+3≥0，得﹣1≤x≤3，所以函数f（x）的定义域为[﹣1，3]．函数可看作由y，t＝﹣x2+2x+3复合而成的，y单调递增，要求函数的单调增区间，只需求t＝﹣x2+2x+3的增区间即可，t＝﹣x2+2x+3在[﹣1，3]的单调增区间为[﹣1，1]，所以函数的单调增区间为[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．【点睛】本题考查复合函数的单调性及二次函数的性质，判断复合函数单调性的方法为：“同增异减”，该类问题要注意在定义域内求单调区间．15．=______．【答案】【解析】直接利用有理指数幂的运算性质化简求值．第10页共17页【详解】，．故答案为：．【点睛】本题考查有理指数幂的化简求值，是基础题．16．已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x+2）＝﹣f（2﹣x），且在[2，+∞]上为增函数，若g（x）＝f（x+2），则不等式2g（5x）﹣3g（﹣x3+4x2+2）＜g（﹣5x）的解集是______．【答案】（-∞，1）∪（1，2）【解析】根据f（x+2）＝﹣f（2﹣x）及g（x）＝f（x+2）即可求出g（﹣x）＝﹣g（x），即得出g（x）为奇函数，且根据条件可得出g（x）在[0，+∞）上单调递增，从而得出g（x）在R上单调递增．这样即可根据不等式2g（5x）﹣3g（﹣x3+4x2+2）＜g（﹣5x）得出，5x＜﹣x3+4x2+2，解该不等式即可．【详解】f（x+2）＝﹣f（2﹣x），g（x）＝f（x+2）；∴g（﹣x）＝f（﹣x+2）＝﹣f（2+x）＝﹣g（x）；∴g（x）为奇函数；∵f（x）在[2，+∞）上为增函数；∴f（x+2）在[0，+∞）上为增函数；∴g（x）在[0，+∞）上为增函数；∴g（x）在R上为增函数；∴由2g（5x）﹣3g（﹣x3+4x2+2）＜g（﹣5x）得，2g（5x）﹣3g（﹣x3