西北工业大学《概率论与数理统计》2.3.2-随机变量的函数及其分布

下下回回停停一、问题的引出二、离散型随机变量的函数的分布三、连续型随机变量的函数的分布第三节随机变量的函数及其分布(2)第三节随机变量的函数及其分布(2)（两个随机变量的函数的分布）一、问题的引出分别表示一个人的年龄和有一大群人，令YX的分布的分布确定如何通过关系ZYXYXfZ,),,(=的函数与知表示该人的血压并且已和体重，YXZZ,变量函数的分布.为了解决类似的问题,下面我们讨论二维随机XY012−−1−21312312112101211221220122.)2(,)1(的分布律求YXYX−+二、离散型随机变量函数的分布例1二、离散型随机变量函数的分布例1的分布律设随机变量),(YXXY012−−1−21312312112101211221220122解等价于P),(YX)2,1(−−121)1,1(−−121)0,1(−123⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2,21122⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1,21121)2,3(−122)0,3(122YX+3−2−1−23−21−13YX−101252353+YX+P3−2−1−23−21−13121121123122121122122YX−P01252353124121122121122122的分布律分别为所以||,YXYX−+结论结论若二维离散型随机变量的联合分布律为,2,1,,},{====jipyYxXpijji的分布律为则随机变量函数),(YXfZ=}),({}{kkzYXfPzZP===L2,1),(==∑=kpjikyxfzijkjiyxfzijzyxfpjik=∑=),(),(”是关于其中“.),(求和的jiyx设两个独立的随机变量X与Y的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0求随机变量Z=X+Y的分布律.得YX421318.012.042.028.0因为X与Y相互独立,所以解例2例2},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP=====可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18.012.042.028.0YXZ+=3557所以YXZ+=P35718.054.028.0YX421318.012.042.028.0例3例3,}0,0{,73=≥≥YXPYX为随机变量且设}0),{max(,}0{}0{74≥=≥=≥YXPYPXP求解7473}0{}0{,}0,0{=≥=≥=≥≥YPXPYXP由}00{}0),{max(≥≥=≥YXPYXP或}0,0{}0{}0{≥≥−≥+≥=YXPYPXP75737474=−+=可知例4例4}{21kXXP=+}0;{21==++XkXPL}1;1{};0{2121−==+===kXXPkXXP∑=−===kiikXiXP021};{∑=−===kiikXPiXP021}{}{，参数为相互独立，且分别服从设121,λXX.212的分布的泊松分布，求XX+λ解∑=−===kiikXPiXP021}{}{21-2-01e)!(e!λλλλikiikkii−=−=∑∑=−+−=kiikiiikkk021)(-!)!(!!e21λλλλ)(2121e!)(λλλλ+−+=kk)(~2121λλ++PXX所以两个独立的均服从泊松分布的随机变量，其和仍服从泊松分布几种特殊形式的随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布的分布YXZ+=)1(yyyzpzpZd),()(∫∞+∞−−=∫∞+∞−−=xxzxpd),(独立时，与若YXyypyzpzpYXZd)()()(∫∞+∞−−=xxzpxpYXd)()(−=∫∞+∞−证xyOD∫∫=yxyxpdd),(∫∫−∞−∞+∞−=xzyyx,px)d(d∫∫∞−∞+∞−−zuxux,px)d(dRz∈∀}),{(zyxyxD≤+=zyx=+}{)(zZPzFZ≤=}{zYXP≤+=yxu+=令}{)(zZPzFZ≤=∫∫∞−∞+∞−−=zuxuxpxd),(d∫∫∞+∞−∞−−=xxuxpuzd),(d∫∫∞−∞+∞−−=zuxxuxp]dd),([zzFzpZZd)(d)(=∴∫∞+∞−−=xxuxpd),(视为常数积分时z设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正解例5例5态分布,求Z=X+Y的概率密度.+∞∞−=−xxpxX,e)(22π21由于+∞∞−=−yypyY,e)(22π21xxzpxpzpYXZd)()()(−=∫∞+∞−由公式.)2,0(分布服从即NZ2zxt−=得xzpxzxZdee)(22)(22π21−−∞+∞−−∫=xzzxdee2242)(π21∫∞+∞−−−−=42242edeeπ21π21zztt−∞+∞−−−=∫说明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则).,(~,).,(~),,(~,,222121222211σσµµNZYXZσµNYσµNXYX+++=且有仍然服从正态分布则相互独立且设一般仍然服从正态分布.3X+4Y+1也具有正态分布.解的概率密度为由题意知R∫+∞∞−−=xxzpxpzpRd)()()(例6例6串联联接和阻在一简单电路中，两电21RR他们的概率密度均为相互独立设,,21RR⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,,,)(其它01005010xxxp.21的概率密度求电阻RRR+=⎩⎨⎧−,100,100xzx当,,10,100时即⎩⎨⎧−zxzx.d)()()(中被积函数不为零∫∞+∞−−=xxzpxpzpRO1020zx10−=zxzx=10=x∫−zxxzpxp0,d)()(此时⎪⎩⎪⎨⎧≤=,100)(zzpR∫−≤≤−1010,2010,d)()(zzxxzpxp其它.0，O1020zx10−=zxzx=10=x(1)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0,100,5010)(其它将xxxp⎪⎩⎪⎨⎧≤−≤−−=−.,0,100,50)(10)(其它xzxzxzp式得代入)1(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤−≤+−=.,0,2010,15000)20(,100,15000)60600()(332其它zzzzzzzpR的分布YXZ−=)2(∫∞+∞−+=yyyzpzpZd),()(∫∞+∞−−=xzxxpd),(独立时，与当YX∫∞+∞−+=yypyzpzpYXZd)()()(∫∞+∞−−=xzxpxpYXd)()(独立时，与当YX证的分布YXZ=)3(∫∞+∞−=yyyzpyzpZd),(||)(∫∞+∞−=yypyzpyzpYXZd)()(||)(,Rz∈∀}),{(zyxyxD≤=}{)(zZPzFZ≤=}{zYXP≤=yxyxpDdd),(∫∫=①xyo=)(zFZzyx≤zyx≥∫∫Dyxyxpdd),(∫∫∞+∞−zyxyxpyd),(d0∫∫∞−∞++zyxyxpyd),(d0∫∫∞−∞−zuyyyupyd),(d0∫∫∞−∞++zuyyyupyd),(d0时，当0≤z}),{(zyxyxD≤=yzx=)0(y)0(yyxu=令∫∫∞−∞−=zuyyyupyd),(d0∫∫∞−∞++zuyyyupyd),(d0∫∫∞−∞−=0d),(dyyyyupyz∫∫∞−∞++zyyyyupdu0d),(zzFzpZZd)(d)(=∫∫∞+∞−+−=00d),(d),(yyyyzpyyyyzp∫∞+∞−=yyyzpyd),(||②xzy1=xy0yoyzxy≤⇒0yzxy≥⇒0∫∫Dyxyxpdd),(∫∫∞−=00d),(dzyxyxpy∫∫∞−∞++zyxyxpyd),(d0∫∫∞−∞−zuyyyupyd),(d0∫∫∞−∞++zuyyyupyd),(d0}),{(zyxyxD≤=时，当0z=)(zFZyxu=令∫∫∞−∞−=zuyyyupyd),(d0∫∫∞−∞++zuyyyupyd),(d0∫∫∞−∞−=0d),(dyyyyupyz∫∫∞−∞++zyyyyupu0d),(dzzFzpZZd)(d)(=∫∫∞+∞−+−=00d),(d),(yyyyzpyyyyzp∫∞+∞−=yyyzpyd),(||,d),(d),()(00yyyzypyyyzypzpZ∫∫∞−∞+−=解由公式例7例7设X,Y分别表示两只不同型号的灯泡的寿命X,Y相互独立,他们的概率密度分别为⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=−−.,,,e)(.,,,e)(其它其它002002xypxxpyx的概率密度函数试求YXZ=222)(z+=得所求密度函数)0(时当z)0(时当≤z,0)(=zpZ得⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.0,0,0,)2(2)(2zzzzpZ⎩⎨⎧=−−.,,,,e2e),(其它0002yxyxpyxyyzpyyzZdee2)(20−−∞+∫=yyzyde2)2(0+−∞+∫=},,max{)4(YXM=极值分布，即相互独立时，有，当YX)()()(zFzFzFYXM=①)](1)][(1[1)(zFzFzFYXN−−−=②有相互独立且同分布时，，当YX)()(2zFzFM=2)](1[1)(zFzFN−−=.},min{的分布YXN=证)(}{}{独立与YXzYPzXP≤⋅≤=}{)(zMPzFM≤=},{zYzXP≤≤=)()(zFzFYX=}{)(zNPzFN≤=}{1zNP−=},{1zYzXP−=}{}{1zYPzXP⋅−=)](1)][(1[1zFzFYX−−−=一般地，设nNzFzF)](1[1)(−−=推广:相互独立且同分布时，则当nXXX,,,21L)()(zFzFnM=有}.{)(1zXPzF≤=其中},,,max{21nXXXML=},,,min{21nXXXNL=解),,,,max(54321XXXXXD=设例8例8对某种电子装置的输出测量了５次，得到的观设他们是相互独立的观察值为54321,,,,XXXXX随机变量，且都服从同一分布⎪⎩⎪⎨⎧≥−=.,,,e)(2e其它00182zzFz.4},,,,max{54321的概率试求XXXXX,)]([)(5maxzFzF=因为}4{1≤−=DP.)e1(15e2−−−=)4(1maxF−=5)]4([1F−=}4{DP所以例9例9的联合分布密度为设),(YX⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=.,,,),(其它，02010312yxxyxyxp是否相互独立？与问：YX)1(的二次方程为设含有a)2(022=++YXaa；求此方程有实根的概率.),()3(的分布函数求YXxyo12∫∞+∞−=yyxpxpXd),()(⎪⎩⎪⎨⎧∈=∫.,0],1,0[,d),(20其它xyyxp⎪⎩⎪⎨⎧∈+=∫.,0],1,0[,d)(2031其它xyxyx2⎪⎩⎪⎨⎧∈+=.,0],1,0[,232其它xxx2).(),()1(ypxpYX先求xyo12∫∞+∞−=xyxpxpYd),()(,.,0]2,0[,d),(10⎪⎩⎪⎨⎧∈=∫其它xxyxp⎪⎩⎪⎨⎧∈+=∫.,0],2,0[,d)(1031其它xxxyx2⎩⎨⎧∈+=其它.,0],2,0[,6131xy（２）设含有a的二次方程为022=++YXaa}02{2有实根=++YXaa.不独立与YX∴；求此方程有实根的概率p31)0(=Yp,38)1(=Xp,1)0,1(=pQ)0()1(1)0,1(YXppp≠=}044{2≥−=YX}{2XY≤=xyo122xy=}{2XYPp≤=∫∫≤=2dd),(xyyxyxp∫∫=2010d),(dxyyxpx∫∫+=203110d)(dx2yxyxx2278.018041d)(105614≈=+=∫xxxxyo12①的分布函数求（),)3(YX},{),(yYxXpyxF≤≤=∫∫∞−∞−=xyyxyxpdd),(∫∫=Dyxyxpdd),(0),(00=≤yxpyx时，或当0),(=∴yxFxyo12②22312131yxyx+=),(yx时当20,10≤≤yx∫∫=xyyyxpx00d),(d∫∫=DyxyxpyxFdd),(),(∫∫+=y2xyxyxx0310d)(dxyo12③.)12(312xx+=),(