第四章-动量守恒

1笫四章动量定理§⒈动量与动量定理；§⒉质心与质心运动定理；§⒊动量守恒定律；§⒋变质量物体的运动.目录近代科学的始祖笛卡儿《哲学原理》2引言动力学问题运动学问题力的瞬时效果力的位置函数牛顿定律适用质点，应用于质点系存在困难；引进新概念和物理量该量新规律•？关系•三大定理与守恒定律（普遍定理）①动力学普遍定理及守恒律（动量定理、能量定理、角动量定理）：建立了表现运动特征的量（动量、能量、角动量）和表现力作用效果的量（冲量、功、冲量矩）之间的关系；②普遍定理及守恒律应用：解决实际问题时，不仅运算简单，而且各个量都具有明确的物理意义，便于深入研究范围更广的运动规律。(,,)mrfrrt累积效果空间时间力作用效果量表现运动特征量MAJLEp3§⒈动量与动量定理动量是描述一定运动状态下物体“运动量”的概念，比速度更能全面、确切地反映物体的运动状态，称为状态量。牛顿第二定律作用在质点上的外力等于质点动量随时间的变化率。pmv一、动量定义动量：牛顿定律表明，力的瞬时效应是受力物体获得加速度，而任何运动必定经历空间和时间。因此，应用牛顿定律于质点组，研究力作用的时间累积效应与空间累积效应，从中寻求某些规律，便成为动力学理论进一步向前发展的一个方向。dtpddtvmdF)(4二、质点动量定理221121()tptpFtdtdpppdpFdt由Fdtdp动量定理微分形式定义dJ=Fdt为力的元冲量，则冲量J为力对时间的积分2121dtttJFtmvmv动量定理积分形式动量定理常用于碰撞过程,在碰撞、打击瞬间用平均冲力概念21211()ttpFFtdtttt5三、质点系动量定理1.对两质点系统(如图)内力：外力：1F21F2F12F考虑牛顿笫三定律，(1)+(2)得:12FF、1221FF、质点1质点2）（11211FFp22212pFF（）2121FFpp21021221121ttexexexPPdtFdtPdFFFFvmvmppP或62.对多质点系统质点系的动量定理——作用于系统的合外力在一段时间内的总冲量等于系统动量的增量。设质点组由N个质点组成，对第i个质点应用动量定理，有对所有质点的动量定理表式求和，则有由于所有内力的矢量和为零，即nnnnnnnFFFFpFFFFpFFFFp...............32122322121131211,1,10nmijijF1212......nnpppFFF01101nniiitiiexexntexiiPpmvdPFFdtPPdtFF或7(2)系统内力不改变系统总动量，但可使系统内各质点的动量变化；(1)只有外力对系统动量的增量有贡献；说明：⑶动量定理与牛顿定律的关系：①对一个质点，牛顿定律表示的是力的瞬时效应，而动量定理表示的是力对时间的积累效果；②牛顿定律只适用于质点，不能直接用于质点系，而动量定理可适用于质点系；③牛顿定律和动量定理都只适用于惯性系，要在非惯性系中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量。在无限小的时间间隔内：.质点系动量定理的微分形式PddtFexdtPdFex8例题4.1、如图，小球m自由落体h距离，能将重物M提升到多少高度?解：设绳子为柔软钢丝绳，全过程分为三段分析：⑴软绳由松到紧，M不动，小球自由下落，获得末速度2vgh⑵软绳被绷紧，在此瞬间m,M均受到绳子张力T的作用，达到同一末速度V。MmhmM1T2T1G2G9解出：根据动量定理有⑶m、M一同运动，位移H，应用匀加速直线运动公式以及第二定律，有22vasmvVmMtTMVtTmvmV0)(HMMgTVHmTmgV)(20)(2-0221)(222222mMhhmMmgVmMmMH10分析：这是一个质点系的动量问题，可用体系动量定理求解。例题4.2、柔软链条自桌上小孔自由下落，求下落速度与落下距离之间关系。根据Fex=dP/dt得yOyymyvvmpyggmFyyexdyyvdvdydydtyvdyg)()(解：如图，建立坐标系,令线密度λ,则在某时刻11两端同乘以y：两端积分：得：yOyym)(yvvdygdy)(2yvyvddygyyyvyvyvddyyg002)(23)(2131yvgy21)32(gyv124.3、长为l，线密度为ρ的柔软绳索，原先两端A、B并合一起，悬挂在支点上，现让B端支点自由下落，求当B端下落了x时，支点上所受的力？解：整条绳索作为体系，受到重力（向下）和支点的拉力（向上）两个外力作用。在合力作用下，体系的动量不断变化。体系的动量也就是右半部分绳索的动量。由于右半部分（未成为左半部分）的运动不受左半部分影响，并作自由落体运动。)()(2232lglg232lglg,2222下落的拖力左半重力则动量定理gxgxlgxFgxglFdtdPF：gdtdvgxvdtdxdtdvxldtdxvdtdPvxlPTTT说明：（1）质点系动量定理可用来直接用于牛顿定律所不能解决的问题；（2）后面再从另一角度来讨论这个问题。ABvxl'=(l-x)/2x13§2.质心与质心运动定律一、质心质心位置及其求法：质点系动量定理的微分形式：对质点系而言存在一个特殊点c，满足是该特殊点的加速度，c称为质心cFMaca：①两个质点组成的体系112211221212mamaFmamammmm从总体反映质点系运动的宏观特点，需要引入质心概念,并讨论质心运动具有的若干独特的规律。2112212212mrmrdmmdtmmiipdtddtPdF14可见质心位矢是质点位矢的带权平均值，这个“权”与质点的质量分布位置有关。由此得112212cmrmrrmm②n个质点系统iiiciimrrm分量形式iiiiiiiiiccciiiiiimxmymzxyzmmm15对质量连续分布的物体，其质心位矢由上式推广得crdmrdVrdmdV分量形式为cccxdmydmzdmxyzdmdmdm③若一个物体由A、B两部分组成，依质心xyz方向表达式分别改写为iiiiiiABciiiABmxmxmxXmmm16AABBcccABZmZmZmmAABBcccABYmYmYmm同样Y、Z方向质心位置分别为质心的性质只有在体系的运动与外力的关系中才体现出来。因此，质心并不是一个几何学或运动学的概念，而是一个动力学概念。()()iiiiABABABAcABcBcABABmxmxmmmmXmXmXmmmm17例题4.3求半径为a的均质半圆球的质心.解：如图，以球心O为原点建立坐标系.将半球体划分为若干半径为r厚为dz的薄圆平板状体积元dV.而xzsinacosaOa设，则cosudzrdV2cossinazar)(cos)cos1()cos()sin(232daadadVauuaauduuaVzdVdVzdVzVVc83422332)1(1041023102418例题4.4如图，在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为R/2的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心。解：选择如图坐标系，考虑对称性，余下部分质心的y坐标为零，仅需求x坐标大圆板质量为，质心坐标为xc=0小圆板质量为，质心坐标为x1c=R/2余下的质量为，质心坐标用x2c表示，则26cRxOxy2RM2141Rm2243Rm2222432410RxRRRc19二、体系动量定理与质心运动定理引入质心概念，质点系动量则可表示为体系动量定理可写成2100tcctFdtPPMvMv上述结论亦称为质心运动定理，其微分形式ccddFPMrMrdtdtcciiiiiiiiivMrMMrmdtdMrmvmP20(3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同。从这个意义上说，牛顿定律所描绘的不是体系中任一质点的运动，而是质心的运动。而质心的存在，正是任意物体在一定条件下可以看成质点的物理基础；几点说明:(2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的；(1)质心运动定理实际上是矢量方程，可以写成三个分量方程，运动的独立性同样成立；(4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。21②物体相对固定参照系的运动可分解为它相对质心系的运动与质心系相对固定参照系的运动；③质心坐标系在讨论质点系的力学问题中十分有用。说明：①对于孤立体系或所受外力的矢量和为零的体系：其质心坐标系为惯性系.对于受外力作用的体系，则是非惯性系；三、质心坐标系？质心坐标系：把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与某固定参照系（惯性系）的坐标轴保持平行的平动坐标系。constvconstvMPcc,22例4.5一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬挂着，其下端刚与地面接触。此时放开绳子，从静止状态开始下落。已知绳子质量为m,长为l，求下落到所剩长度为z时，地面对这段绳子的作用力。解：解法一（质心法）把绳子看作一质点系。当绳子下落到剩长度为z时，所以其质心高度和速度分别为所谓完全柔软的绳子,指的是绳子上端的下落速度v=dz/dt与一个质点自由下落的速度相同，即zOzlzlzzdlmzmzzc2120lzvdtdzlzdtdzvcc23由此可得质心加速度为设地板对上段绳子的作用力为F，对整根绳子应用质心运动定理，则有gdtdvzlgv)(2lzggdtdvlzlvlzvdtddtdvacc32)(2)1(3)(lzmgagmFmamgFcc24忽略二级小量，并考虑dt内落地绳子的长度为-vdt，可得加上已经落地的一段绳子所受到的支持力，总的作用力为绳子上端的下落速度为，而紧靠地面的质元dm与地面相碰时其动量由vdm变为零。故若设该质元受到的支持力为F1，根据质点动量定理有2vglz解法二：（动量法）vdmdtgdmF0)1（lzmglmvdtlmvdtvdtdmvF-12121lzmgglmzlFF13)(125§3.动量守恒定律一、动量守恒定律由体系动量定理若Fex=0,则几点说明：①内力对体系的动量无贡献，但内力对体系动量的具体分配有重要作用。当体系所受外力矢量和为零时,但由于内力作用，可以有constppppP......2121,...2211,pppp210ttexdtFPPconstvmPinii126④动量守恒定律虽可由牛顿定律导出，但它比牛顿定律的适用范围更广；尤其是微观领域的某些过程中，牛顿定律也许不成立，但动量守恒定律仍然成立。②动量守恒是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒；③在某些过程（如爆炸、碰撞）中，体系虽受外力，但外力有限，过程时间很短，外力冲量很小；而其间内力很大，体系内每一部分的动量变化主要来自内力的冲量，外力的冲量可忽略不计，故可以利用动量守恒定律研究体系内部各部分间的动量再分配问题。000xxyyzzFPco