数字图像处理之采样、量化、插值、傅里叶变换

数字图像处理上海理工大学印刷光学秦杨第2讲数字图像与印刷图像的获取2.1如何不失真获取图像2.2印刷图像如何获取2.1如何不失真获取图像图像数字化连续图像：二维坐标系中具有连续变化的，即图像画面的像点是无限稠密的，同时其灰度值（即图像从暗到亮的变化值）也是无限稠密的图像，称为连续图像。连续图像又称为模拟图像。离散图像：是指用一个数字阵列表示的图像。该阵列中每一个元素称为像素。离散图像又称为数字图像。2.1.1图像的获取像素：组成数字图像的基本元素。连续图像可以认为是由无数个像素组成的，而且没一点的灰度值都是从黑到白有无限多个可能取值。数字图像可以认为是按某种规律（如模拟/数字转换）编成一系列二进制数码（0和1）来表示图像上每个点的信息。获取图像就是将连续图像转化为数字图像。2.2.2图像的获取(ImageAcquisition)图像获取即图像的数字化过程，包括扫描、采样和量化。图像获取设备由5个部分组成：采样孔，扫描机构，光传感器，量化器和输出存储体。关键技术有：采样——成像技术；量化——模数转换技术。图像获取设备(1)采样孔：使数字化设备实现对特定图像元素的观测，不受图像其它部分的影响。(2)图像扫描机构：使采样孔按照预先定义的方式在图像上移动，从而按顺序观测每一个像素。(3)光传感器：通过采样检测图像每一个像素的亮度。通常采用CCD阵列。(4)量化器：将光传感器输出的连续量转化为整数值。典型的量化器是A/D转换电路，它产生一个与输入电压或电流成比例的数值。(5)输出存储装置：将量化器产生的颜色值(灰度或彩色)按某种格式存储，以用于后续的计算机处理。Anexampleofthedigitalimageacquistionprocess图像数字化图像数字化过程图像的数字化包括采样和量化两个过程。采样量化图像的矩阵表示设连续图像f(x,y)经数字化后，可以用一个离散量组成的矩阵g(i,j)（即二维数组）来表示。)1,1()1,1()0,1()1,1()1,1()0,1()1,0()1,0()0,0(),(nmfmfmfnffgnfffjig矩阵表示的几点说明g(i,j)代表(i,j)点的灰度值，即亮度值。以上数字化有以下几点说明：（1）由于g(i,j)代表该点图像的光强度，而光是能量的一种形式，故g(i,j)必须大于零，且为有限值，即：0＜g(i,j)＜∞。（2）数字化采样一般是按正方形点阵取样的，除此之外还有三角形点阵、正六角形点阵取样。如图2-1所示。（3）以上是用g(i,j)的数值来表示(i,j)位置点上灰度级值的大小，即只反映了黑白灰度的关系。如果是一幅彩色图像，各点的数值还应当反映色彩的变化，可用g(i,j,λ)表示，其中λ是波长。如果图像是运动的，还应是时间t的函数，即可表示为g(i,j,λ,t)。Basicexperimentalsetupusedtocharacterizebrightnessdiscrimination图2-1采样网格(a)正方形网格;(b)正六角形网格(a)(b)采样2.1.1采样空间上或时域上连续的图像（模拟图像）变换成离散采样点（像素）集合的操作称为采样。由于图像基本是采取二维平面信息的分布方式来描述的，所以为了对它进行采样操作，需要先将二维信号变为一位信号，再对一维信号完成采样。换句话说就是讲二维采样转化为两次一维采样操作来实现。图2-2是采样原理示意图。采样采样行采样列像素行间隔采样间隔图2-2采样示意图采样的具体做法具体做法是，先沿垂直方向按一定间隔从上到下顺序地沿水平方向直线扫描，取出各水平线上灰度值的一维扫描。而后再对一维扫描线信号按一定间隔采样得到离散信号，即先沿垂直方向采样，再沿水平方向采样这两个步骤完成采样操作。采样后得到的二维离散信号的最小单位就是像素。一般情况下，水平方向的间隔和垂直方向的采样间隔相同。对于运动图像（即时间域上的连续图像），需先在时间轴上采样，再沿垂直方向采样，最后沿水平方向采样由连续图像经过采样之后所获得的数字图像的效果与以下几个评价参数有关。图像分辨率：采样所获得的图像总像素的多少。（如数码相机的30万像素）采样密度：图像上单位长度所包含的采样点数。采样密度的倒数是采样间隔。采样频率：是指一秒钟内采样的的次数。它反映了采样点之间的间隔大小，采样频率越高，丢失的信息越少，采样出的样本细腻逼真图像的质量好，但要求的存储量越大。（图像大小：对一幅图像采样时，若每行（即横向）像素为M个，每列（即纵向）像素为N个，则图像大小为M×N个像素。）扫描分辨率：表示一台扫描仪输入图像的细微程度。指每英寸（1英寸=2.5cm）扫描所得到的点。单位DPI。数值越大表示被扫描的图像转化为数字化图像越逼真，扫描仪质量越好。无论采用那种评价参数，都反映采样点间隔的选取是一个很重要的问题。显然，想要获得更加清晰的图像质量，就要提高图像采样像素点数，也就是要使用更多的像素点来表示该图像，但是相对要付出更大存储空间的代价采样间隔的大小取决于原图像的细微亮暗变化。从频域的角度来看采样问题：根据一维采样定理，若一维信号g（t）的最大截止频为w，以，则T=1/2w为采样间隔进行采样，则能够根据采样结果g(nt)完全恢复g(t).。实际采样与理想采样采样的时域表达采样的实现通常是由一个图像传感元件完成的，它将每个像素位置上的亮度转换成与之相关的连续的测量值，然后将该测量值转化成与其成正比的电压值。最后，再在图像传感器后面，跟随一个电子线路的模数转换器，将连续的电压值转化成离散的整数。采样定理采样定理一个频带限制在(0,fH)Hz内的时间连续信号m(t),如果以大于或等于2fH的采样速率对它进行等间隔采样，则可以由采样序列无失真地恢复原始信号m(t)。如采样间隔Ts=1/(2fH)，则Ts被称为奈奎斯特（Nyquist）间隔。如采样频率fs=1/Ts，则fs被称为奈奎斯特（Nyquist）速率。采样定理告诉我们，若采样速率ffs（或采样间隔TTs），则会产生失真，这种失真称为混叠失真。图像采样与数字图像质量如图是图像采样与图像质量的关系。图像采样与数字图像质量1024x1024512x512-1024x1024128x12864x6432x32256x256-1024x1024由采样定理可知，要想无失真的恢复一幅图像，采样频率应该大于图像模拟信号最高频率的2倍。如果采样频率低于原信号最高频率的2倍，则恢复的信号中会包含原信号中不存在的低频成分，称为混淆，它会对信号造成干扰。采样傅里叶变换，可以获得信号的频谱，并从中得知信号最高频率的数值。在图像印刷传递过程中，依据原稿特点和采样定理进行适当的分辨率设置是很重要的，因为这一步骤决定了从原稿上采集到的原始图像频率状况，在此采样定理的指导意义是很明显的。傅里叶变换原理快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。具体算法参考相关文献。量化模拟图像经过采样后，在空间上离散化为像素。但采样所得的像素值(即灰度值)仍是连续量。量化：把采样后所得的各像素的灰度值从模拟量到离散量的转换称为图像灰度的量化。图(a)说明了量化过程。若连续灰度值用z来表示，对于满足zi≤zzi+1的z值，都量化为整数qi。灰度值：qi称为像素的灰度值。误差：z与qi的差称为量化误差。一般，像素值量化后用一个字节8bit来表示。如图(b)所示，把由黑—灰—白的连续变化的灰度值量化为0～255共256级灰度值。图像量化示意图灰度值的范围为0～255，表示亮度从暗到明，对应图像中的颜色为从黑到白.量化的准则不同，会导致不同的量化效果。从不同的角度将量化方法分成4类：（1）按量化级步长均匀性均匀量化和非均匀量化。（2）按量化对称性对称量化和非对称量化（3）按量化时采样点相互间的相关性分无记忆和有记忆量化。（4）按量化时处理的采样点数分标量量化和矢量量化。均匀对称量化（a）中央上升型（b）中央平稳型非均匀对称量化（a）中央上升型（b）中央平稳型均匀量化等间隔量化就是简单地把采样值的灰度范围等间隔地分割并进行量化。对于像素灰度值在黑—白范围较均匀分布的图像，这种量化方法可以得到较小的量化误差。该方法也称为均匀量化或线性量化。将[z0,zk)均分成个k子区间后，每个区间的长度各子区间以它的中心位置作为量化值当待量化值在区间内均匀分布时kzzLk/)(02/)(1iiizzqkLzp/1)(2最小：22/12L非均匀量化为了减小量化误差，引入了非均匀量化的方法。非均匀量化依据一幅图像具体的灰度值分布的概率密度函数，按总的量化误差最小的原则来进行量化。具体做法是对图像中像素灰度值频繁出现的灰度值范围，量化间隔取小一些；而对那些像素灰度值极少出现的范围，则量化间隔取大一些。显然，在需要以少的数据量来描述图像的场合，可以采用非均匀量化技术，以达到尽量少的数据使所描述的图像效果尽可能地好。xyf(x,y)NM均匀量化和非均匀量化的效果比较向量量化定义：将一组采样的信号幅度向量在容许的误差范围内用更少的离散向量代替。与标量量化相比，向量量化提供较低的失真，但运算量比标量量化大得多。原理：一次量化2个以上采样点，量化过程需要用到一个码书。实质就是在码书中找到输入矢量X的最近码字，其衡量标准就是误差测度，通常采用平方误差测度。一维向量量化目的：对任一输入矢量X，在码书中寻找最佳匹配码矢Xi。常用的最佳匹配原则：寻求最小误差。若码书尺寸为M，矢量X对应码矢Xi，信号矢量X的概率密度函数为p(X)，则总的量化误差可表示为常用的误差有：均方绝对值误差（MAE）均方误差（MSE）iiXpXXea)(),(kmiimxmxkXXe1)()(1),(21)()(1),(kmiimxmxkXXe对于一幅特定的图像，根据其灰度的分布特征，在少的量化级数下，采用非均匀量化技术的效果一定比均匀量化效果好。但是，当允许量化级数比较多时，因为均匀量化已经足够对图像的细节进行描述，采用非均匀量化的效果不明显，只能徒增量化算法的复杂度，因此这种情况下多采用均匀量化。实际上，由于图像灰度值的概率分布密度函数因图像不同而异，所以不可能找到一个适用于各种不同图像的最佳非等间隔量化方案，因此，实用上一般多采用等间隔量化。最佳量化最佳量化使量化误差最小的量化方法为最佳量化。最佳量化方法：思想：计算所有可能灰度级出现的概率分布，根据灰度级出现概率的多少决定分层的疏密。对于出现次数较多的大部分灰度作精确分层，对出现次数少的灰度级做粗糙分层。（这将比均匀量化更易获取良好的图象质量）使用均方误差测度讨论最佳量化。设：Z和q分别代表数字图像像素幅度和其量化值；p(Z)为像素幅度概率密度函数；Z的取值范围在H1~H2之间，量化总层数为K，δ2表示量化器量化的均方误差。解：根据均方误差定义可得dZZpqZK1kZZ2k21kk当量化层数足够大时，每个判决层的p(Z)可以近似为均匀分布，则上式分别对Zk和qk求导，并令等于0。1221331113kkKZkZkKkkkkkpZZqdZpZZqZqK,2,3,kqq21Zqq21ZqZ3qZ30Zk1kk2122122222因此则求导：如对将上式求和符号展开，22121kkkZZZZkZZkkK1kZZ2kk2K1kZZ2k2K12HHZZ21qZPdZZpdZZZpqdZq2Z2Zp0qdZqZq2ZZpdZqZZp1kk1kk1kk1kk1kk