高中数学-第二讲证明不等式的基本方法课件-新人教A版选修4

尝试1：作差比较，作差——变形——定符号根据a－b0ab，欲证ab只需证a－b0.证明：∵3322()()ababab=22()()aabbab=22()()abab=2()()abab∵,ab是正数，且ab,∴0ab,2()ab0∴3322()()ababab0,∴3322ababab注：比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法,另外，有时还可作商比较.思考一：已知ab,是正数，且ab，求证：ababab3322作差—变形—判断符号—下结论。作商—变形—与1比较大小---下结论。.,,,,3等号成立时当且仅当求证是正数已知例babababaabbabaabbaabbababababa:证明.,1,0,1,0),,(等号成立时当且仅当则不妨设不等式不变的位置交换点根据要证的不等式的特bababababababa.,,等号成立时当且仅当bababaabba(2)作商比较法尝试2：转化尝试，就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止.其逻辑关系是：12nBBBBA.思考一：已知ab,是正数，且ab，求证：ababab3322证明：∵0,0,abab且∴要证3322ababab,只要证22()()()abaabbabab,只要证22aabbab,只要证2220aabb.∵0ab,∴2()0ab即2220aabb得证.注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通!（如课本第24页例3）尝试3:联想尝试，就是由已知的不等式及题设条件出发产生联想,大胆尝试,巧用已知不等式及不等式性质做适当变形，推导出要求证明的不等式.其逻辑关系是：12nABBBB.思考一：已知ab,是正数，且ab，求证：ababab3322证明：∵0,0,abab且∴3222aabab,3222bbaab,∴32322222aabbbaabab,∴3322ababab注：综合法的思维特点是：执因索果.基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。（如课本第23页例1、第24页例2）2222222,,:(1)0;(2)0;(3)2;()4;22(4);22(0);2(0)aaababababababababababababbaba利用综合法证明不等式时应注意对已证不等式的使用常用的不等式有它的变形形式又有它的变形形式又有思考二.(课本第25页例4)已知,,0,abc求证:222222abbccaabcabc≥.证明不等式的常用的方法有:比较法、综合法、分析法，它们各有其优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应该对具体问题的特点作具体分析，选择合适的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个证明过程.3.(课本第26页习题2.2第9题)(分析法是解题的绝招)已知1a,1b,求证:1abab证明:∵要证:1abab,只要证221abab即2222122ababaabb,只要证22221abab,只要证222210abab,只要证22(1)(1)0ab∵1a,1b∴21a,21b∴2210,10ab∴22(1)(1)0ab,∴1abab补充练习:dcDdbcaCdbcaBdcdbcadbcabaadbcdcba.22..baA.)(,22,,,,,,,.1中最大的是则且都是正数已知D不能确定的大小关系是与则且若.1.1.qA.1)(1,,,1,0.2nmDqqqCqqqBqqqqqNnmqqnmnmnmnmnmnmnmA不能确定的大小关系为与则中和等差数列在等比数列D.baC,bB.abA.a)(,,0,0,.355555555313311baaabababannAabDabCbaBbabbaabbaba2.2..A.a)(2,,2,,10.42222中最大的值是则设B________,,,42,5.5222满足的条件为则实数若设baQPaaabQbaP21abab或__________,,),(log),log(log21,2log,10.621212121的大小关系是则若MQPbaMbaQbaPbaQPM三、反证法与放缩法(1)反证法先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.反证法主要适用于以下两种情形(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;(2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.（正难则反）.21,1,2,0,1中至少有一个小于试证且已知例xyyxyxyx211.2,2)(22,21,21,0,,21,21,21,1:中至少有一个小于与矛盾这与已知条件且即都不小于假设证明xyyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxxyyx已知2()fxxpxq，求证：|(1)|,|(2)|,|(3)|fff中至少有一个不小于21.分析：设|(1)|,|(2)|,|(3)|fff中没有一个大于或等于21，观察：(1)1,(2)42,(3)93fpqfpqfpq得：(1)2(2)(3)2fff所以2=|(1)2(2)(3)|fff≤|(1)|2|(2)||(3)|fff21+2×21+21=2这是不可能的，矛盾表明原结论成立。证明：略.说明：“至少”型命题常用反证法，由于其反面情况也只有一种可能，所以属于归谬反证法.(2)放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较强的一种证法.21,,,,3caddbdccacbbdbaaRdcba求证已知例cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba,0,,,:证明baababdccdcd21.caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即得把以上四个不等式相加)2(121,121,)1(11,)1(11;)21(43)21(.)3(;)2(;)()1(:.,,,,2222Nkkkkkkkkkkkkkk②aa①BCCACA且以上如缩应用基本不等式进行放子或分母在分式中放大或缩小分一些项或加进舍掉放缩技巧有常用的后证即放大成如将中间量寻找一个一边放大或缩小放缩法就是将不等式的习题2.31、设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于1/4则三式相乘：(1a)b•(1b)c•(1c)a①641又∵0a,b,c1∴412)1()1(02aaaa同理：41)1(bb41)1(cc以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤641与①矛盾∴结论成立证明：设(1a)b1/4,(1b)c1/4,(1c)a1/4,2.111abab例已知a,b是实数，求证:a+bab法１：bbaababa111证明：在时，显然成立.0ba当时，左边0ba111ba1||11111abbaabababab.11bbaa1abab.11bbaa法２：0,abab1111111111||abababababab||11baabab法３：函数的方法*32...2()nnn例求证：111（n+1-1）1+23n*1222(1),21kkkNkkkk1111232[(10)(21)(32)(1)]2.nnnncbacacababa2222222222222233()()2424()()22aabbaaccaabacaaabcabc例4、巳知：a、b、c∈，求证：R略解