中考数学专题复习--圆压轴八大模型题(5)-三切线组合

圆压轴题八大模型题（五）泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型5三切线组合直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB为直径的半圆⊙O与CD相切于点E.【分析】(1)法一：如图(a)过点D作DF⊥BC,AB＝DF＝22(94)(94)＝12.法二：如图(b)由△OBC∽△DAO,或△COE∽△ODE得：r2＝4×9＝36,r＝6,AB＝12.(2)由△OBC∽△DAO,或△COE∽△ODE得：r2＝ADBC,(2AB)2＝ADBC,∴4AD·BC＝AB2(3)由Rt△CBO∽Rt△COD得：CO2＝CBCD.(4)∠CFE＝∠COG＝∠EGD＝90°,CO∥AE,DO∥BE.OEDCBAABCDEOPFOEDCBAGPFOEDCBA(3)求证：CO2＝CB·CD；FOEDCBA图(1)图(2)图(3)(1)AD＝4，BC＝9，求AB；(2)求证：4AD·BC＝AB2.(4)求证：CO∥AE,DO∥BE.(a)OADECBODFECBA(b)GFOADECB【分析】(5)由CB∥EF∥DA,CB＝CE,DA＝DE得EPCPBPFPDACABDDA,∴EP＝FP.(6)由CB＝CE,∠CBE＝∠CEB＝∠DEG;CB∥DA得∠CBE＝∠D,∴∠DEG＝∠D.∴DG＝EG,又EG＝GA,∴DG＝AG.(7)EF∥DA,得EPBPFPDGBGGA,又DG＝GA,得EP＝FP.(8)由AB2＝4ADBC得：（25）2＝4×2BC,∴BC＝2.5,CF＝BC＝2.5,BF＝5.在Rt△ABF中，AF＝22(25)5＝35.由AD∥BF得45AEADEFCF,∴EF＝59AF＝59×35＝553【典例】（2018·湖南娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC＝1，则AE·BE___________.【分析】连接OE，由切线长定理可得∠AOE＝12∠DOE，∠BOE＝12∠EOC，再根据∠DOE＋∠EOC＝180°，可得∠AOB＝90°，继而可证△AEO∽△OEB，根据相似三角形对应边成比例即可得.解：如图，连接OE，∵AD、AB与半圆O相切，∴OE⊥AB，OA平分∠DOE，∴∠AOE＝12∠DOE，同理∠BOE＝12∠EOC，∵∠DOE＋∠EOC＝180°，∴∠AOE＋∠BOE＝90°，即∠AOB＝90°，∴∠ABO＋∠BAO＝90°，∵∠BAO＋∠AOE＝90°，∴∠ABO＝∠AOE，BCDEOABCDEOA(5)求证：EP=FP.(6)求证：DG=AG.(7)求证：EP=FP.(8)若AB=25，AD=2，求BC和EF的长.图(4)图(5)图(6)图5-1图a∵∠OEA＝∠BEO＝90°，∴△AEO∽△OEB，∴AE：OE＝OE：BE，∴AE•BE＝OE²＝1，答案：1.【点拨】由切线长定理引出的四个母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形。除开由切线长所在的特殊四边形的特殊结论以外，往往借助切线长定理中的边等角等和比例线段证明线段相等，或运用局部占总体的比例求线段长。善于分解图形，构建基本的图形模型，综合运用解决问题。【变式运用】1.(2016大庆)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH.(1)求证：MH为⊙O的切线.(2)若MH＝32，tan∠ABC＝34，求⊙O的半径.(3)在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度.解：（1）连接OH、OM，∵H是AC的中点，O是BC的中点，∴OH是△ABC的中位线，∴OH∥AB，∴∠COH＝∠ABC，∠MOH＝∠OMB，又∵OB＝OM，∴∠OMB＝∠MBO，∴∠COH＝∠MOH，在△COH与△MOH中，，∴△COH≌△MOH（SAS），∴∠HCO＝∠HMO＝90°，∴MH是⊙O的切线；（2）∵MH、AC是⊙O的切线，∴HC＝MH＝，∴AC＝2HC＝3，图b图5-2∵tan∠ABC＝，∴＝，∴BC＝4，∴⊙O的半径为2.（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，∵AC与AN都是⊙O的切线，∴AC＝AN，AO平分∠CAD，∴AO⊥CN，∵AC＝3，OC＝2，∴由勾股定理可求得：AO＝，∵AC•OC＝AO•CI，∴CI＝，∴由垂径定理可求得：CN＝，设OE＝x，由勾股定理可得：CN2﹣CE2＝ON2﹣OE2，∴﹣（2＋x）2＝4﹣x2，∴x＝，∴CE＝，由勾股定理可求得：EN＝，∴由垂径定理可知：NQ＝2EN＝．2.(2016广西梧州)如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径及MN的长．(1)如图所示，连接OE、OF、OG.∵OE、OF、OG都是⊙O的半径，∴OE＝OG＝OG.∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，∴∠OEB＝∠OFB＝∠OFC＝∠OGC＝90.在Rt△OEB和Rt△OFB中，，∴Rt△OEB≌Rt△OFB，则∠OBE＝∠OBF.图c图5-2同理可证Rt△OFC≌Rt△OGC，则∠OCF＝∠OCG.∵AB∥CD,∴∠OBE＋∠OBF＋∠OCF＋∠OCG＝180，即∠OBF＋∠OCF＝90°，则∠BOC＝180°－∠OBF－∠OCF＝90°.∵MN∥OB，∴∠NMC＝∠MOB＝180°－∠BOC＝90°，即OM⊥MN,又∵OM是⊙O的半径，∴MN是⊙O的切线。(2)如图所示，由（1）可得，在Rt△OBC中，OF⊥BC，∠BOC＝90°。由勾股定理得，，则，即10OF＝48,故OF＝4.8.∵OM＝OF＝4.8，∴MC＝OM＋OC＝12.8。由（1）知，∠OCB＝∠MCN，∠NMC∠BOC＝90°，则△NMC∽△BOC，因此，即，故。综上所述，⊙O的半径为4.8cm，MN的长为9.6cm.3.（2018·湖北襄阳）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB＝CE．(1)求证：DA＝DE；(2)若AB＝6，CD＝43，求图中阴影部分的面积．解：（1）证明：连结OE，OC.∵BN切⊙O于点B，∴∠OBN＝90°.∵OE＝OB，OC＝OC，CE＝CB，∴△OEC≌△OBC.∴∠OEC＝∠OBC＝90°.∴CD是⊙O的切线.图d图5-3∵AD切⊙O于点A，∴DA＝DE.（2）过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形.∴AD＝BF，DF＝AB＝6.∴DC＝BC＋AD＝43.∵FC＝2223DCDF.∴BC－AD＝23.BC－AD＝23.∴BC＝33.在Rt△OBC中，tan∠BOC＝3BCBO，∴∠BOC＝60°.∵△OEC≌△OBC，∴∠BOE＝2∠BOC＝120°.∴S阴影部分＝S四边形BCEO－S扇形OBE＝2×12BCOB－120360××OB2＝93－3.图e