等差数列前n项和

复习引入1.等差数列定义：即an－an－1＝d(n≥2).2.等差数列通项公式：(1)an＝a1＋(n－1)d(n≥1).(2)an＝am＋(n－m)d.(3)an＝pn＋q(p、q是常数)复习引入3.等差中项bAabaA,,2成等差数列.m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aq.(m，n，p，q∈N)4.等差数列的性质2.3等差数列的前n项和（一）上页下页数列的前n项和：称为数列{an}的前n项和，记作Sn，Sn=naaaa321naaaa321数列的通项公式能反映数列的基本特性，在实际问题中常常需要求数列的前n项和.对于等差数列，为了方便运算，我们希望有一个求和公式，这是一个有待研究的课题.上页下页你知道这个雄伟壮观的建筑是哪儿吗？世界七大奇迹之一——印度泰姬陵上页下页泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？探究发现上页下页这是个什么问题呢？从上而下第一层是1颗宝石，第一层是2颗宝石，第三层是3颗宝石……第一百层是100颗宝石即:1+2+3+······+100=？2.2等差数列的前n项和上页下页德国古代著名数学家高斯10岁的时候就已经解决了这个问题：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？上页下页高斯的算法计算：1＋2＋3＋…＋99＋100高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，……每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？上页下页看看高斯的（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050??高斯的思路有什么特点？适合哪种类型？特点：首尾配对（变不同数求和为相同数求和，变加法为乘法）类型：项数是偶数的数列求和上页下页高斯的办法行吗？能否有更简洁的求法？S21=1+2+3+…+212S21=(1+21)+(2+20)+(3+19)+…+(21+1)S21=21+20+19+…+121个22探究问题1：第1层到21层一共有多少颗圆宝石？上页下页这实质上就是数学中数列求和的一种重要方法--------倒序相加法总结一下这种方法特点？可以叫什么法呢？上页下页问题2:等差数列1,2,3,…,n,…的前n项和怎么求？sn=1+2+…+n-1+n2sn=(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)sn=n+n-1+…+2+1n个n可能是奇数也可能是偶数，怎么避免讨论？利用倒序相加法上页下页112nnnSnad11naand又12nnnaaSn个11112()()()nnnnnSaaaaaaaa上式相加得：由等差数列性质可知：问题3:对于一般等差数列{an}，首项为a1公差为d,如何推导它的前n项和公式Sn呢？求和公式1()2nnnaaS等差数列的前n项和的公式：思考：（1）公式的文字语言；11,naand由于1(1)2nnnSnad故（2）公式的特点；不含d可知三求一1(1)2nnnSnad等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半。公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.na1an1()2nnnaaS公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.1(1)2nnnSnad想一想dnnnaSn2)11（dnaan)1(1结论：知三求二公式应用根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn：（1）a1=5，an=95，n=10（2）a1=100，d=－2，n=5050025501()12nnnaaS解：10(595)25001(1)22nnnSnad解：50(501)50100-222550上页下页.根据下列条件，求相应的等差数列的前n项和;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda;14,23,32)3(1naan.32,7.0,5.14)4(1nada2)1nnaanS（.5002)955(1010SdnnnaSn2)11（2550)2(2)150501005050（S2)1nnaanS（.6352)]2/3(3/2[1414Sdnaan)1(1,2617.05.1432n.5.6042)325.14(2626S上页下页在等差数列{an}中，如果已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?dnnnaSn2)11（dnaan)1(1结论：知三求二解题思路一般是:建立方程(组)求解等差数列的前n项和公式上页下页变式1：(I)已知等差数列{an}中，(1)a1＝12，S4＝20，求S6；(2)a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求n及an；解析：(1)S4＝4a1＋44－12d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，∴d＝3.故S6＝6a1＋66－12d＝6a1＋15d＝3＋15d＝48.(2)∵Sn＝n·32＋nn－12(－12)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，∴a12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.上页下页应用举例•例1求前n个正奇数的和.22)121()12(531nnnn解由等差数列前n项和公式,得思考:你能看出右图与本题的关系吗?222)1(Snnnnn或1n1n上页下页练习：求前n个正偶数的和nnnnn22)22(2642n11n+1上页下页例2在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如北京天坛圆丘的地面由扇环形石板铺成,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问:(1)第9圈有多少块石板?(2)前9圈一共有多少块石板?上页下页北京天坛圆丘上页下页解(1)设从第1圈到第9圈石板数构成数列,由题意可知是等差数列,其中nana.9,11da819)19(9)19(19daa故(块)(2)由等差数列前n项和公式,4052)819(92)(9919aaS方式1(块)上页下页答第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板方式24059289992)19(9919daS(块)例2、计算（1）5+6+7+…+79+80（2）1+3+5+…+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n-n例题讲解n2135+21n2解：…22nn2n135+212+4+6++2nn3解：原式＝……21nnn1212nnn3230提示：n=76法二：1212222nnnn例3在等差数列{an}中，已知，求S7.4053aa1777()74014022aaS+´===例题讲解11()()22nknknnaanaaS1()2nnnaaS知识打包存放备用an=a1+(n-1)d对于Sn、an、a1、n、d五个量，“知三求二”.2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1方程(组)思想(待定系数法)倒序求和法掌握与应用课堂小结1．等差数列前n项和的公式；2．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；3.在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.上页下页（两个）1()2nnnaaS1(1)2nnnSnad上页下页性质：若数列前项和为，.则，11(1)(10.2)nnnnnSnaSSnanS或注意：两个公式都表明要求必须已知等差数列的.前项和中的公式三个.111()(11.1:2,,)2,nnnnnnSnaaanndSSndaan上页下页2.在等差数列{an}中,已知S15=90,那么a8等于（）A.3B.4C.6D.12C1设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7=1．C[S7＝2(a1＋a7)＝2(a2＋a6)＝49.]3.设是数列{an}的前n项和Sn，已知，求an222nsnn4.设是数列{an}的前n项和Sn，已知，求an222nsnn45nan