近三年全国卷1文数圆锥曲线解析及答题思路

（2018全国卷1文数）设抛物线22Cyx：，点(2,0)A，(2,0)B，过点A的直线l与C交于M，N两点.（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABMABN.解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为2x，可得M的坐标为(2,2)或(2,2).所以直线BM的方程为112yx或112yx.（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为(2)(0)ykxk，11(,)Mxy，22(,)Nxy，则120,0xx.由2(2),2ykxyx得2240kyyk，可知12122,4yyyyk.直线BM，BN的斜率之和为121222BMBNyykkxx211212122()(2)(2)xyxyyyxx.①将112yxk，222yxk及1212,yyyy的表达式代入①式分子，可得121221121224()2()yykyyxyxyyyk880k.所以0BMBNkk，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.反思：此题第二问的关键在于将证明角相等转化为倾斜角互补，从而证明两直线的斜率之和为零。如果没有想到这个转化是否还有其他方法证明角相等呢？从向量的角度来看是不是可以考虑用夹角公式，因此有如下解法：要证ABMABN，即证ABNABMcoscos,即证BNBABNBABMBABMBA所以22222212112222yxxyxx，即2122222122yxyx所以1222212222xxxx化简得042121xxxx，当21xx时，显然等式成立。当21xx，04444422121yyxx综上，ABMABN。0AMNyxB（2017全国卷1文数）设A，B为曲线C：y=24x上两点，A与B的横坐标之和为4.（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程.解：（1）解法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），则12xx，2114xy，2224xy，x1+x2=4，于是直线AB的斜率12121214yyxxkxx.解法2：设212221,,,,xxyxByxA则.设AB的直线方程为为bkxy由bkxyxy42得0442bkxx.所以4421kxx，所以1k.（2）解法一：由24xy，得2xy'.设M（x3，y3），由题设知312x，解得32x，于是M（2，1）.设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N（2,2+m），|MN|=|m+1|.将yxm代入24xy得2440xxm.当16(1)0m，即1m时，1,2221xm.从而12||=2||42(1)ABxxm.由题设知||2||ABMN，即42(1)2(1)mm，解得7m.所以直线AB的方程为7xy.解法2：由解法一可知M（2，1）,设直线AB的方程为yxm将yxm代入24xy得2440xxm得mxxxx4,42121.)1,2(),1,2(2211yxBMyxAM由AMBM得0BMAM.即0)1)(1()2(-22121yyxx）（化简得0762mm.解得17mm或（舍）所以7m所以AB的直线方程为7yx反思：本题第二小问要求直线的方程，因为有了第一小问的斜率，实则还要再求一个参数。而要求这个参数本题的突破口就是已知条件的AMBM，既可以从向量的角度来求，也可以从直角三角形的性质来考虑。（2016全国卷1文数）在直角坐标系xOy中，直线:(0)lytt交y轴于点M，交抛物线C：22(0)ypxp于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.（Ⅰ）求OHON；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.解：（Ⅰ）如图所示：已知(0,)Mt,P点纵坐标与M相同，所以带入抛物线求得2(,)2tPtp又∵N点是M点关于P的对称点，所以2(,)tNtp,设ON所在直线方程为ykx，带入点N解得pkt，所以直线为pyxt联立直线与抛物线方程解得22(,2)tHtp∴2HNOHxONx（Ⅱ）不存在除H以外的公共点。由（Ⅰ）知(0,)Mt,22(,2)tHtp可得MH所在直线方程为2pyxtt，与抛物线方程联立消去y得：222204pxpxtt该方程Δ=0，所以表明直线与抛物线只有一个交点。所以不存在H以外的交点。反思：第一问看似简单实则蕴藏着转化的思想，通过三角形相似把线段比值转化成横坐标的比值，从而减少了运算量。第二问两条直线的交点问题常规解法联立方程求判别式即可。