二项式定理(第四课时)(习题课)

1.3二项式定理第三课时011nnnknkknnnnnnabCaCabCabCb)(Nn二项式定理kknknkbaCT1)2(通项公式：nnknnnnCCCCC210)3(二项式系数：项共有)1()1(n二项式定理恒等式)4(等等或如令,1;,1baxba二项式系数性质nnnnknnnnCCCCCC,,,,,1210nnnnnnCCCC21210）（knnknnnnnnnCCCCCC,,,2110）（1113mnmnmnCCC）（中最大值为）（nnnnknnnnCCCCCC,,,,,412102nnCn大为偶数时，中间一项最当2121-nnnnCCn大为奇数时，中间两项最当nxx)2(3例1已知的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项.13C7Cnnn76)2)(1(nn23888381C)2()2()(rrrrrrrrxxxCT1238rr2rxxT112C)2(2823∴n=8设展开式中含x的项是第r+1项，则故展开式中含x的项为第3项，即1221121()22nnCC0892nn81841()2rrrrTCxx82481()2rrrrCxx1638412rrrrCx08rrZ41()2nxx例2已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，⑴证明展开式中没有常数项；⑵求展开式中所有的有理项8(1nn舍去）04316r1rT①若是常数项，则即16-3r=0，rZ，这不可能，∴展开式中没有常数项；∵1rT4316r②若是有理项，当且仅当为整数08,rrZ∴r=0,4,8，41xTxT8355292561xT分别是：nxx)2(2例3已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14:3，求展开式的常数项24241433:14:nnnnCCCC251010210101)2()2()(rrrrrrrxCxxCT.180)2(221012CT解：依题意∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10设第r+1项为常数项，又202510rr令此所求常数项为180)x1(1])x1(1)[x1(x1)x1()x1(10102）（711C例4求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数解：xxx)1()1(11=∴原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)CCC2260.0020.00006C66011660.998(10.002)(0.002)0.998CC(1)1nana，60.998例5求的近似值，使误差小于0.001．解：展开式中第三项为小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，一般地当a较小时巩固提高题型一二项展开式中系数的最大与最小11)1(x例1在二项式的展开式中，求系数最小的项的系数。.462C51111)1(x56511)1(Cx65611)1(Cx解：因为在的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项、第七项所以系数最小的项的系数为nxx223)(nxx2)12(例2已知的展开式的系数和比(3x-1)n的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.992222nn8064)1()2(55510156xxCTT.解：由题意解得n=5.101(2)xx①的展开式中第6项的二项式系数最大,即rrrrrrrrxCxxCT2101010101012)1()1()2(110110101011011010102222rrrrrrrrCCCC110101101022rrrrCCCCrrrr10)1(221131138r②设第r+1项的系数的绝对值最大,则∴r=3,故系数的绝对值最大的是第4项。1271282828129128282832C32C32C32Crrrrrrrrrrrr1282812828C32CC23Crrrr)3(281)2(2r)29(3rrr52175216r28)32(yx例3求的展开式中系数最大的是第几项？解：设展开式中第r+1项的系数最大，则∴r=7故第18项的系数最大题型二展开式的系数和223(3)nxx例4已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项2(13)2nn222992nn5n解：令x=1，则展开式中各项系数和为又展开式中二项式系数和为2n223226335()(3)90TCxxx22232233345()(3)270TCxxx⑴∵n=5,展开式共6项,二项式系数最大的项为第三,四两项21045233155()(3)3rrrrrrrTCxxCx1155115533792233rrrrrrrrCCrCC4r设展开式中第r+1项系数最大，则2264243355()(3)405TCxxx即展开式中第5项系数最大，10)32(yx例5在的展开式中,求:①二项式系数的和；②各项系数的和；③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；④奇数项系数和与偶数项系数和；⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.1010101100102CCC1)1()32(1010令x=y=1,各项系数和为910102100102CCC99103101102CCC10102829110010)32(yayxayxaxayx110210aaaa101032105aaaaa2511025110251109531aaaa2511010420aaaa二项式定理的其它问题例6在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数.5552)2()1()23(xxxxxC515xxx240)32(5)80(1∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，xxC802415含x的项为∴展开式中含x的项为∴此展开式中x的系数为240S12323nnnnnCCCnCS1221(1)(2)2nnnnnnnnnCnCnCCC1231232nnnnnnCCCnCn例7求证：证（法一）倒序相加：设rnrnnCC011,,nnnnnnCCCC0122nnnnnSnCCCC11222nnSnn1231232nnnnnnCCCnCnrnrC11!(1)!!()!(1)!()!rnnnnrnCrnrrnr1230121112123nnnnnnnnnnCCCnCnCCCC12nn，∴（法二）：左边各组合数的通项为