中考数学第一轮复习《三角形及其性质》课件

基础知识梳理中考真题汇编考点详解典例解析针对性练习五年中考全国真题数学第四章三角形基础知识梳理数学第四章三角形●考点一三角形的边角关系1．三角形的分类(1)按边分：三角形______等腰三角形只有两边相等的等腰三角形______不等边三角形等边三角形数学第四章三角形(2)按角分：三角形______斜三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形数学第四章三角形2．三角形的三边关系：三角形的任意两边之和________第三边；三角形的任意两边之差________第三边．3．三角形的内角和定理及其外角性质(1)三角形的内角和等于________；(2)三角形的外角性质：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的_________的和；三角形的外角大于和它不相邻的______________.大于小于180°两个内角任意一个内角数学第四章三角形●考点二三角形中的重要线段图形结论1.高(1)∠ADB＝∠ADC＝________(2)S△ABC＝12BC·AD90°数学第四章三角形图形结论2.角平分线∠BAD＝∠CAD＝12________3.中线(1)BD＝CD＝12________(2)S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC∠BACBC数学第四章三角形4.三角形的中位线：连接三角形两边________的线段，叫做三角形的中位线；三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于________，且等于第三边的________.中点第三边一半数学第四章三角形●考点三等腰三角形1．等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰________、两个底角________、顶角的平分线也是底边上的____________(三线合一)．2．等腰三角形的判定：有两个角________的三角形是等腰三角形(等角对等边)．3．面积求法：S＝12ah(其中h是边a上的高)．相等相等中线和高相等数学第四章三角形4．等边三角形(1)等边三角形的性质：等边三角形的三条边________；等边三角形的三个角都是________.(2)等边三角形的判定：a.三边________的三角形是等边三角形；b.三个角________的三角形是等边三角形；c.有两个角是________的三角形是等边三角形；d.有一个角是________的等腰三角形是等边三角形．(3)等边三角形的面积的求法：S＝12ah＝34a2(其中h＝32a是高)．相等60°相等都相等60°60°数学第四章三角形●考点四直角三角形1．直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角________；(2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的________；(3)直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的________；等于斜边的一半的直角边所对的角是________；(4)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的________.互余一半一半30°平方数学第四章三角形2．直角三角形的判定：(1)有两个角的和等于________的三角形是直角三角形；(2)一条边上的中线等于这边的________的三角形是一个直角三角形(这条边所对的角是直角)；(3)勾股定理的逆定理：如果一个三角形的一边的平方等于另两条边的________，那么这个三角形是直角三角形(这条边所对的角是直角)．3．直角三角形面积的求法：S＝12ab＝12ch(其中a，b是直角边，h是斜边c上的高)．90°一半平方和数学第四章三角形●考点五三角形的稳定性当三角形的三边一定时，三角形的形状和大小就________，而不能再发生改变，这就是三角形的稳定性；三角形的稳定性的根据就是判定三角形全等的________定理．一定边边边数学第四章三角形一、三角形的边角关系【例1】△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．【解析】延长AD至点E，使DE＝AD，连接EC，∵BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD，∴CE＝AB，∵AB＝5，AC＝3，CE＝5，设AD＝m，则AE＝2m，∴5－3＜2m＜5＋3，∴1＜m＜4.【答案】1＜m＜4【点拨】倍长中线是解答此类问题的常用方法，应用三角形的三边关系是解答本题的突破口．数学第四章三角形【例2】(2018·聊城)如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是()A．γ＝2α＋βB．γ＝α＋2βC．γ＝α＋βD．γ＝180°－α－β【解析】设A′D交AC于点F.由折叠可知，∠A′＝∠A＝α.由三角形的外角定理，得∠AFD＝∠CEA′＋∠A′＝α＋β，∠BDA′＝∠A＋∠AFD＝α＋α＋β，即γ＝2α＋β.【答案】A【点拨】本题解答过程中充分运用了转化思想，即把要探求的角转化到同一个三角形中，而转化的依据往往是三角形内角和或三角形外角的性质．数学第四章三角形二、三角形中的主要线段【例3】(2018·襄阳)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为____________．【解析】如图，在Rt△ADC中，运用勾股定理，得AC＝AD2＋CD2＝12＋32＝2，所以AB＝4.由于D点相对于A，B点的位置不确定，需分情况讨论：(1)如图1，当点D在AB上时，BD＝AB－AD＝4－1＝3，在Rt△BDC中，运用勾股定理，得BC＝BD2＋CD2＝32＋32＝23.数学第四章三角形(2)如图2，当高CD在△ABC的外部，即点D在边BA的延长线上时，BD＝AB＋AD＝4＋1＝5，在Rt△BDC中，运用勾股定理，得BC＝BD2＋CD2＝52＋32＝27.【答案】23或27数学第四章三角形三、等腰三角形【例4】如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．【答案】证明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3.又∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴EB＝ED，即△BDE是等腰三角形．【点拨】角的平分线、平行线、等腰三角形，这三者当中具备其二，第三者必定成立．数学第四章三角形四、直角三角形【例5】如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝32，则∠CDE＋∠ACD＝()A．60°B．75°C．90°D．105°数学第四章三角形【解析】∵CD⊥AB，E为BC边的中点，∴CE＝BE＝DE＝32，故BC＝2CE＝3.∵AB＝2，AC＝1，∴AC2＋BC2＝12＋(3)2＝4＝22＝AB2，∴△ABC是直角三角形，故∠ACB＝90°，∵DE＝CE，∴∠CDE＝∠DCE，∴∠CDE＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD＝∠ACB＝90°.【答案】C数学第四章三角形1．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是()A．12B．9C．13D．12或9A数学第四章三角形2．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝()A．75°B．80°C．85°D．90°A数学第四章三角形3．(2017·泰州)三角形的重心是()A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平行线的交点A数学第四章三角形4．已知如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠C，求证：AD＝CD．证明：连接AC．∵AB＝AC，∴∠BAC＝∠BCA，又∵∠A＝∠C，即∠BAC＋∠DAC＝∠BCA＋∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD．数学第四章三角形5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是______.85数学第四章三角形中考真题汇编数学第四章三角形2．(2017·安徽)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝13S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为()A．29B．34C．52D．41D数学第四章三角形3．(2014·安徽)如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为()A．53B．52C．4D．5C数学第四章三角形4．(2018·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是()A．4cm,5cm,9cmB．8cm,8cm,15cmC．5cm,5cm,10cmD．6cm,7cm,14cmB数学第四章三角形5．(2018·福建)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于()A．15°B．30°C．45°D．60°A数学第四章三角形6．(2018·淄博)如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB与点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且AN平分∠AMC．若AN＝1，则BC的长为()A．4B．6C．43D．8B数学第四章三角形7．(2018·黄冈)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝()A．2B．3C．4D．23C数学第四章三角形8．(2018·扬州)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是()A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝ECC数学第四章三角形9．(2018·哈尔滨)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_______________.10．(2018·无锡)已知△ABC中，AB＝10，AC＝27，∠B＝30°，则△ABC的面积等于______________.90°或130°103或153数学第四章三角形11．(2018·宜昌)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．数学第四章三角形解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB－∠A＝50°，∴∠CBD＝130°，∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝12∠CBD＝65°；(2)∵∠ACB＝90°，∴∠CEB＝90°－65°＝25°，∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°.数学第四章三角形12．(2018·嘉兴)已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED＝∠CFD＝90°，∵D为AC的中点，∴AD＝DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，AD＝DC，DE＝DF.∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A＝∠C，∴BA＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．数学第四章三角形13．(2018·长沙，节选)如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3.(1)求CE的长；(2)求证：△ABC为等腰三角形．数学第四章三角形(1)解：∵点D为BC的中点，AD∥CE，∴AD为△BCE的中位线，∴AD＝12CE.∵AD＝3，∴CE＝6；(2)证明：∵∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠ACE＝∠CAD，∴∠ACE＝∠E，∴AC＝AE.由(1)可知AB＝AE，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．