非线性振动

第五章非线性系统的振动5.1非线性振动概述5.2非线性振动问题的主要特点5.3非线性振动问题的研究方法5.4分叉与混沌的概念王卫滨不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。1、内在的非线性因素发生非线性振动的原因：振动系统内部出现非线性回复力振动系统的参量不能保持常数，如漏摆、荡秋千。单摆（或复摆）的回复力矩)!!(mglM5353自激振动5.1非线性振动概述2、外在的非线性影响非线性阻尼的影响策动力为位移或速度的非线性函数如33221vkvkvkfr如)v,v,v,x,x,x(FF3232线性振动与非线性振动的最大区别：线性振动满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理非线性振动方程的一般形式线性振动方程)(tfkxxcxm),,,(),,(),,(),,(txxxfxxxfxxxfxxxfkcm非线性振动方程变质量惯性力非线性阻尼力非线性恢复力非线性激振力5.2非线性振动问题的主要特点•(1)非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化(2)对于非线性振动系统,叠加原理不适用•对于线性微分方程•对于非线性系统nnnnnntxtxtxxdddddd2121()212ddxxt+()2222121212d2dddddddddxxxxxxttttt=++?(3)非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统，存在跳跃和滞后现象在激励比较强烈而系统的阻尼又很小的情况下,主共振的幅频特性的曲线有反向弯曲。(4)某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动，振幅不衰减•线性系统中自由振动总是衰减的esin()ntxAt(5)强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分•简谐激振力作用下的非线性系统响应波形除了与激振力频率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一.•由于存在次谐波与超谐波振动,非线性系统共振频率的数目将多于系统的自由度(6)存在多个简谐激振力作用下的组合振动(7)存在频率俘获现象•在非线性振动系统中，当系统以振动，受到另一激励时，系统可能以其中之一的频率振动，即频率俘获12（8）在一定条件会出现分叉现象与混沌运动Duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动5.3非线性振动问题的研究方法等价线性化法谐波平衡法伽辽金法多尺度法渐进法（平均法））（小参数法摄动法（近似法）解析法：跌代法胞映射法直接点映射法边值法（法）初值法（如数值解法：定量方法局性态。环、特殊轨线，解的全情况；确定奇点、极限在相平面上分布衡点的性质，即相轨迹在相平面上研究解或平空间平面法）定性方法（几何法或相分析方法：—结合计算机处理数据—实物或模型实验实验方法：Mothed)ShootingkuttaRouge一、任意摆角情况下单摆的运动lmONA线性系统（数学定义）：若则()fx满足是线性的；()gx为非线性，则★自由单摆的运动方程：22sindgdtl线性近似：当很小，22dgdtl(sin)1212()()()gxxgxgx()fx1212()()()fxxfxfx若若为任意值，故自由单摆为非线性振动系统：1212sin()sinsinlmONA22sindgdtlddt令，以及，000,,t2220022cos1cos2gl则上式变为而(sin)方程解的非唯一性1.设初始条件为2220022cos1cos2gl0=，0=0，2cos2gl运动分析：在最高点=，=0，0ddtlmONA系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：a.停留在该顶点，尔后径直下落；b.调头沿原路返回；c.越过该顶点继续向前运动。则其解为★对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作用的阻尼单摆）：22sincosddmllmgFtdtdt●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件下，其解可能具有不可预测的随机性。第5章非线性振动5.3.1非线性振动的近似解析方法定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置）附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，不能获得系统的频率、振幅等基本参数。只有极少的非线性系统能获得精确的解析解，因此，对大多非线性系统只能采用近似解析的方法。近似解析方法主要用于弱非线性系统。第5章非线性振动5.3.1非线性振动的近似解析方法谐波平衡法谐波平衡法的基本思想是设振动系统微分方程的解能用系数未知的傅立叶级数表示，然后将外激励展成同样周期的傅立叶级数，代入方程。由动力学方程两端同阶谐波的系数相等，得到未知系数的线性代数方程组，解方程组，得到振动系统微分方程傅立叶级数形式的解。讨论非线性系统的在外激励下的受迫振动：)(),(tFxxfx设方程的解可以用周期为T的傅立叶级数表示1210)sin()cos()(nnntnatnaatx第5章非线性振动5.3.1非线性振动的近似解析方法其中,将外激励力F(t)展开为同样周期的傅立叶级数：T2121)sin()cos()(nnntnftnftF2/2/1d)(cos)(1TTnttntFTf}{}{][faD将级数形式的解及其各阶导数和级数形式的激励力一起代入动力学方程中，整理各阶谐波的系数，令相同谐波分量的系数相等，就可以得到级数形式解中各个待定系数a0、a1n和a2n为未知数的2n+1阶线性代数方程组：解线性代数方程组，得到方程级数解的系数。2/2/2d)(sin)(1TTnttntFTf第5章非线性振动5.3.1非线性振动的近似解析方法摄动法讨论带小参数的单自由度非自治系统：),()(20xxftFxx其中，为与变量x，t无关的常数。当充分小时，系统为弱非线性系统，称作小参数。当=0时，上述系统退化为一个派生系统)(20tFxx设派生系统的周期解为x0(t)，当观测到原系统也存在周期解时，可以在派生系统周期解的基础上加以修正构成原系统的周期解x(t，)，并展开为的幂级数)()()(),(2210txtxtxtx第5章非线性振动5.3.1非线性振动的近似解析方法将原系统周期解的表达式代入原方程两端，并将f(x,)在基本解(x0,)的领域内展开成泰勒级数:x0x)()()(),(2210txtxtxtx)(20tFxx第5章非线性振动5.3.2非线性振动的数值分析方法数值分析方法就是对非线性系统进行数值积分，在时域内把响应的时间历程离散化，对每一时间步长内可按线性系统来进行计算，并对每一步的结果进行修正。这种方法又称为逐步积分法或直接积分法。数值分析方法得到广泛应用的原因一个原因是因为非线性分析理论发展的不完善性，对很多问题无法进行理论上的分析；另一个原因是数值分析理论的发展和计算工具性能的提高使得数值分析成为可能。第5章非线性振动5.3.2非线性振动的数值分析方法常用的数值分析方法非线性振动的数值方法是把非线性方程化为对每一时间步长Dt内的线性方程来求解，常用的数值分析方法有纽马克（Newmark）法、威尔逊（Wilson）法、Runge－Kutta法等。纽马克（Newmark）法梯形法最早由欧拉提出，其基本思想是将方程的解，即位移响应展成泰勒级数，并只保留一阶导数。即关于t＋Dt瞬时的速度和位移均可由前一步t瞬时的速度和位移来表示：txxxnnnD1tvvvnnnD1txxxnnnD1或第5章非线性振动5.3.2非线性振动的数值分析方法nnnnfxkxcxm在有了t瞬时的位移和速度后，由满足t瞬时的微分方程nxnx得到t瞬时的加速度：mxkxcfxnnnn/)(由以下两式得到t＋Dt瞬时的速度和位移：txxxnnnD1txxxnnnD1依此类推，给定初值和后，就可以获得任何瞬时系统的运动速度和位移。位移截断误差为0(Dt2)。0x0x第5章非线性振动5.3.2非线性振动的数值分析方法欧拉法的几何意义是用折线代替曲线，计算精度较低，一般只用于起步或与其它方法配合使用。高斯对欧拉法进行了改进，用t瞬时和t＋Dt瞬时的平均速度代替欧拉法中t瞬时的速度，即：txxxxnnnnD)(1211txxxxnnnnD)(1211这里用导数的平均代替t瞬时的导数值，称为梯形法，它采用t＋Dt瞬时的微分方程，因此，为隐式格式。2121211])([txxtxxxnnnnnDDxn+1的表达式也可以写成如下的形式：用平均加速度代替t瞬时的导数值是纽马克法的一个特例。第5章非线性振动5.3.2非线性振动的数值分析方法纽马克法的积分格式：txtxxxnnnnDD11)1(212211)(txtxtxxxnnnnnDDD纽马克法来自于梯形法，它按照泰勒级数展开式，保留到二阶导数加速度项，并引入两个参数和对截去的高阶小量作修正。通常，取1/2会产生负阻尼，即积分计算中导致振幅的增长，因此，最常用的参数为＝1/2，而变动。这种方法又称为纽马克法。当＝1/2，＝1/2时方法是无条件稳定的。第5章非线性振动5.3.2非线性振动的数值分析方法纽马克法每步积分满足t＋Dt时的末端方程：1111nnnnfxkxcxm212211)(txtxtxxxnnnnnDDD由积分格式解出末端速度与加速度矢量得：txtxxxnnnnDD11)1(nnnnnxxtxxtx1211)(1121DD代入末端方程，得：fxknˆˆ第5章非线性振动5.3.2非线性振动的数值分析方法其中：fxknˆˆ1ctmtkkDD21ˆnnnnxxtxtmff12111ˆ21DDnnnxtxxtc221DD从第一式可解出t＋Dt时的位移。第5章非线性振动5.3.2非线性振动的数值分析方法威尔逊（Wilson）法以线性加速度法为基础，引入参数，在时域范围内，假设加速度按线性规律变化，在数学上先得到瞬时的一组方程，称为预报方程，然后再求出瞬时的位移、速度和加速度。1ttDttDttD设t为自t开始的时间变量，适用于，根据线性加速度的假设可得在此时间域内的加速度为tDt0)(nnnnxxtxxtDt积分后得)(22nnnnnxxtxxxtDtt)(6232nnnnnnxxtxxxxtDttt第5章非线性振动5.3.2非线性振动的数值分析方法当t=Dt时，可得到t+Dt瞬时的速度和位移)2(622nnnnnxxtxtxxDD)(2nnnnxxtxxD解出nxnnnnnxxtxxtx26)(622DD得到的表达式：nxnnnnnxtxxxtx22)(3DD