计算水力学--第三章(4).

第三章有限差分的基本理论水文09级计算水力学教学课件Leilafor水文09版权所有回顾Lax等价定理稳定性证明误差传播方程级数展开放大因子保证误差不放大的条件0iikxkkCeLeilafor水文09版权所有课程内容基本概念偏导数的差商近似差分方程截断误差和相容性收敛性Lax等价定理稳定性——不同格式的稳定性分析差分方程数值效应Leilafor水文09版权所有马斯京根法的稳定性4FTFS格式的稳定性2蛙跳格式的稳定性33FTCS格式的稳定性31§7.稳定性—不同格式的稳定性分析Leilafor水文09版权所有FTCS格式11102jjjjiiiiuuuuCtx误差传递方程：FTCS格式的稳定性31ijj+1i+1i-1Leilafor水文09版权所有放大因子GFTCS格式的稳定性31Leilafor水文09版权所有FTFS格式110jjjjiiiiuuuuCtx误差传递方程：FTFS格式的稳定性2ijj+1i+1Leilafor水文09版权所有放大因子GFTFS格式的稳定性2Leilafor水文09版权所有蛙跳格式1111022jjjjiiiiuuuuCtx误差传递方程：蛙跳格式的稳定性33i-1j-1j+1i+1ijLeilafor水文09版权所有110jjjikxjikxkkkkCCCeCe蛙跳格式的稳定性33放大因子|G|11jjkkjjkkCCCC210ikxikxGGee22sin1sinGikxkxLeilafor水文09版权所有所以此格式稳定性条件为：蛙跳格式的稳定性33(G1,2)2|G1,2|Leilafor水文09版权所有马斯京根法11111111102jjjjjjjjiiiiiiiiQQQQQQQQutx马斯京根法的稳定性411jiQ1jiQjiQ1jiQx2t误差传递方程：11111111102jjjjiiiijjjjiiiituxLeilafor水文09版权所有马斯京根法的稳定性411111102jjjikxjikxjikxjikxjjkkkkkkkkCCCeCeCeCeCC22222()()()()abcbdabcbd放大因子|G|2111cossin22abckxdkx其中：；；；∴格式稳定性条件为：Leilafor水文09版权所有稳定性FTBS格式FTCS格式：无法收敛，不稳定格式FTFS格式：-1≤η≤0蛙跳格式：-1≤η≤-1马斯京根法格式：η0时：Θ≤0.5FTBS格式：0≤η≤1η0时：Θ≥0.5Leilafor水文09版权所有§8.差分方程数值效应物理耗散与弥散1混淆误差3数值耗散与弥散32“逆风”效应34Leilafor水文09版权所有§8.差分方程数值效应—物理耗散与弥散洪水波传播平移坦化变形Leilafor水文09版权所有§8.差分方程数值效应—物理耗散与弥散洪水波传播平移坦化变形Leilafor水文09版权所有§8.差分方程数值效应—物理耗散与弥散洪水波传播平移坦化变形Leilafor水文09版权所有坦化变形在一固定位置，时间相差一个周期T，其波高相等§8.差分方程数值效应—物理耗散与弥散2()ikxctikxctAeAeT弥散是指波的相速度C随波数发生变化的现象。物理耗散是指波幅A因阻尼作用而衰减的现象。Leilafor水文09版权所有1、无耗散和色散的模型§8.差分方程数值效应—物理耗散与弥散0txuCu解析解：无衰减、无弥散的物理现象。波幅不衰减，相速度不变Leilafor水文09版权所有§8.差分方程数值效应—物理耗散与弥散2、有耗散的模型(4)24txxxxuCuuu2400分别为二阶、四阶耗散系数解析解：24240kktikxCtkkuAee波幅衰减，相速度不变有衰减、无弥散的物理现象。Leilafor水文09版权所有(3)(5)35txxxuCuuu§8.差分方程数值效应—物理耗散与弥散3、有弥散的模型35，分别为三阶、五阶弥散系数解析解：24350ikxCkktkkuAe波幅不衰减，相速度变化无衰减、有弥散的物理现象。Leilafor水文09版权所有用差分方程逼近微分方程时引入了误差，有时这些误差项使计算结果的幅值衰减和相速度发生变化，其作用相当于流动中的物理耗散和弥散，这种虚假的物理效应称作数值耗散和数值弥散。§8.差分方程数值效应—数值耗散与弥散Leilafor水文09版权所有考察方程右端项1阶偏导数•偶次方•奇次方2424uuxx，....3535uuxx，....有耗散有弥散§8.差分方程数值效应—数值耗散与弥散Leilafor水文09版权所有§8.差分方程数值效应—数值耗散与弥散0uuCtx例对流方程描述的是既无耗散又无弥散的流体运动A物理效应B数值效应—伪物理效应物理耗散物理弥散数值耗散数值弥散Leilafor水文09版权所有§8.差分方程数值效应—数值耗散与弥散FTBS格式的等价方程FTFS格式的等价方程FTCS格式的等价方程耗散为主耗散为主不稳定Leilafor水文09版权所有§8.差分方程数值效应—数值耗散与弥散蛙跳格式的等价方程弥散为主马斯京根法的等价方程222212,2MxQQQOtxtxx0.50.50.5时时时耗散为主不稳定弥散为主Leilafor水文09版权所有§8.差分方程数值效应—混淆误差fj-1jj+1xLeilafor水文09版权所有考虑可辨认的短波。如λ＝4Δx，则kΔx＝2πΔx/λ=π/2，衰减比为r=2/π，这时差商带来了很大的误差。对于和空间步长Δx接近的短波，差商无法近似导数。§8.差分方程数值效应—混淆误差Leilafor水文09版权所有物质的对流输运出现了与波速相反方向传播的不合理现象，称为“逆风”效应，是一伪物理现象的数值效应。§8.差分方程数值效应—“逆风”效应“逆风”效应0uuCtxFTCS格式对流方程11102jjjjiiiiuuuuCtxLeilafor水文09版权所有假定在某瞬时j在某一断面k处引入某一物理量u＝1，η＝1§8.差分方程数值效应—“逆风”效应FTCS格式Leilafor水文09版权所有物理量向上、向下游两个方向传播，出现了与波速相反方向传播的不合理现象，称之为“逆风”效应。§8.差分方程数值效应—“逆风”效应采用何种格式还与波速的方向有关，例如潮水河道，则可以采用“逆风”格式“逆风”格式1111102jjjjjjjiiiiiiiuuCuuuutxLeilafor水文09版权所有差分、差商、差分方程截断误差和离散误差相容性、收敛性和稳定性LAX等价定理差分方程的数值效应逆风效应与逆风格式本章要点本堂课内容放映结束