函数极限与连续

1.1函数1.2极限的概念1.3极限的运算1.4函数的连续性第1章函数极限与连续结束前页结束后页当自变量x取数值时，与对应的因变量y的值称为函数在点处的函数值,记为或.当x取遍D内的各个数值时,对应的变量y取值的全体组成0xD0|xxy0x0x0()fx定义1设x与y是两个变量，若当变量x在非空数集D内任取一个数值时，变量x按照某种对应法则f总有一个确定的数值y与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作称D为该函数的定义域.记为Df．称x为自变量，称y为因变量.xD1.1.1函数的概念数集称做这个函数的值域.记为Zf。1.1函数()yfx()yfx前页结束后页1.1.2函数的表示法例1已知某商品的总成本函数为：2()1004QCCQ例2某工厂全年1—6月原材料进货数量如下表，这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系．T(月)123456Q(吨)111012111212(1)公式法用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系，是函数的公式表示法.如例1是用公式法表示函数.(2)表格法自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出前页结束后页(3)图示法用函数y=f(x)的图形给出自变量x与因变量y之间的关系.例3需求函数与供给函数.,如图.P表示商品价格,Q表示需求量,供给量,E点为需求和供给平衡点．()QfP()QPSSEQPOQ=φ(P)Q=f(P)说明三种表示法各有所长，缺一不可，如三角函数，三角函数表，三角函数图像，都是表示三角函数，可以相互补充。前页结束后页例4求函数的定义域(1)函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素。注:(2)如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则它们是相同的函数．(4)在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组成的数集.(3)在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的.13xyx解当分母时,此函数式都有意义30x因此函数的定义域为(,3)(3,)前页结束后页例5求函数的定义域.216ln(sin)yxx44,2(21),012xnxnn即，，，所以函数的定义域为与.[4,)(0,)解要使函数y有定义，必须使2160,sin0,xx成立40,xx与这两个不等式的公共解为前页结束后页解当时,函数值设有函数,问它们是否为同一个函数.21()1,()1xfxxgxx例6()(),fxgx(,),由于与的定义域不同,所以它们不是同一个函数.()fx()gx1x但是的定义域()fx而在点无定义其定义域为()gx1x(,1)(1,).与前页结束后页在实际问题中,有时会遇到一个函数在定义域的不同范围内，用不同的解析式表示的情形，这样的函数称为分段函数．例如符号函数100010,sgn,,xyxxx是一个分段函数，它的定义域为(,)分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数.前页结束后页2,01,()2,12.xxyfxxxf(x)的定义域是[0,2]，222111,(1)11;224ff因此1,1[0,1]2由于，例7333(1,2]23.222f而，因此当时,01[,]x2()fxx当时,12(,]x()2fxx前页结束后页定义设y是u的函数，y=f(u)，，而u是x的函数，并且的值域包含f(u)的定义域，即，则y通过u的联系也是x的函数，称此函数是由y=f(u)及复合而成的复合函数，记作()uxxD，Uu()xUxD，)(x)(xu1.1.3复合函数并称x为自变量，称u为中间变量.[()],yfx例8分析函数是由哪几个函数复合而成.1cos2xy解，是由函数uyyxcos2cos121vuvx和复合而成,并易知其定义域为(,)前页结束后页例9求由函数组成的复合函数并求其定义域.13xuuy，解由于的定义域为与u=3x–1的值域有公共部分，[0,)(,)yu由于必须，从而，yu0u310x故复合函数的定义域是.1[,)3,13xy所以由它们可以组成复合函数1()[()],[[()]].1fxffxfffxx，求例10设1[()]1()ffxfx解111,0,xx1111x前页结束后页).,0()0,(和的定义域为为负整数时，当x).,0[),0()0,(,),(,2135725332的定义域为；和的定义域为；为的定义域，如分数时，情况比较复杂当xxxxxμ为(1)幂函数yx幂函数的定义域随的不同而不同.x1.基本初等函数).,(的定义域为为正整数时，当x(是常数)当为无理数时,规定的定义域为(0,)x前页结束后页指数函数的定义域为.当a1时，它严格单调增加；当0a1时，它严格单调减少.对于任何的a,的值域都是，函数的图形都过(0,1)点.),(xa),0(xa()log(0,1,)ayxaaa3对数函数是常数对数函数是指数函数的反函数，它的定义域为.当a1时，它严格单调增加；当0a1时，它严格单调减少.对于任何限定的a，的值域都是，函数的图形都过(1,0)点.xa),0(),(logaxxyalog(2)指数函数是常数）(0,1,xyaaaa前页结束后页在高等数学中，常用到以e为底的指数函数和以e为底的对数函数(记作lnx),lnx称为自然对数.这里e=2.7182818……，是一个无理数.logexxe(4)三角函数常用的三角函数有：正弦函数y=sinx;余弦函数y=cosx;y=sinx与y=cosx的定义域均为，它们都是以为周期的函数，都是有界函数.(,)π2前页结束后页数，并且在开区间内都是无界函数.正切函数y=tanx;(0,1,2,).2xnn定义域为除去以外的全体实数余切函数y=cotx;.),2,1,0(以外的全体实数定义域为除去nnxtanx与cotx是以为周期的周期函数，并且在其定义域内是无界函数.sinx,tanx及cotx是奇函数，cosx是偶函数.π此外还有正割函数y=secx,余割函数y=cscx,其中.它们都是以为周期的函xxxxsin1csc,cos1sec)2π,0(π2前页结束后页(5)反三角函数三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx和y=cotx的反函数都是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，称为主值分支，分别记作；定义域为]1,1[],2π,2π[,arcsinyxy反正弦函数；定义域为]1,1[],π,0[,arccosyxy反余弦函数；定义域为),(),2π,2π(,arctanyxy反正切函数).,(),π,0(,cotarc定义域为yxy反余切函数前页结束后页2初等函数定义由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经过有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.初等函数都可以用一个公式表式22253246(1)cosln1xyaxbxcyxxxyxx例如函数，，等都是初等函数；2,0,,0xxxyx而e≥大部分分段函数不是初等函数是非初等函数前页结束后页定义3设函数y=f(x)是定义在Df上的一个函数，其值域为Zf,对任意y∈Zf,如果有唯一确定的满足y=f(x)的x∈Df与之对应，则得到一个定义在Zf上以y为自变量的函数，我们称它为函数y=f(x)的反函数，记作1()xfy1.1.5反函数与隐函数1反函数习惯上，常用x来表示自变量，y表示因变量，所以我们可以将反函数改写成1()yfx在直角坐标系中的图形与y=f(x)的图形是1()yfx关于直线y=x对称的.前页结束后页例11设函数y=2x–3，求它的反函数并画出图形.123(3).2解出得yxxxy解于是得反函数1(3)2yx23yx1(3)2yxyx前页结束后页变量之间的函数关系，是由某个二元方程给出的，这样的函数称为隐函数．例有些隐函数可以改写成显函数的形式，而有些隐函数不能改写成显函数的形式，把隐函数改写成显函数叫做(,)0Fxy2250,sin(2)6xyxyxyxye隐函数的显化2隐函数前页结束后页1奇偶性设函数y=f(x)的定义域D是关于原点对称的，即当时，有.xDxD则称f(x)为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称；()(),fxfx如果对于任意的，均有Dx则称函数f(x)为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称.如果对任意的,均有xD()(),fxfx1.1.6函数的基本性质前页结束后页例12讨论下列函数的奇偶性:2(1)();fxx;)()2(3xxf.)(),()()((2)333是奇函数xxfxfxxxf.)(),()()()1(222是偶函数xxfxfxxxf解.)()3(32xxxf,)(,)(,)()3(323232xxxfxxxfxxxf而),()(),()(,0xfxfxfxfx且时当.)(32函数既不是偶函数也不是奇所以xxxf前页结束后页设函数y=f(x),如果存在正常数T,使得对于定义域内的任何x均有f(x+T)=f(x)成立，则称函数y=f(x)为显然，若T是周期函数f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期(k=1,2,3)，通常我们说的周期函数的周期就是指最小正周期.2周期性周期函数，T为f(x)的周期.例如，函数y=sinx及y=cosx都是以为周期的周期函数；π2函数y=tanx及y=cotx都是以为周期的周期函数.π前页结束后页解设所求的周期为T，由于()sin[()]sin[()]ftTAtTAtT()()ftTft要使sin[()]sin(),AtTAt即成立例13求函数的周期，其中为常数()sin()ftAt,,A并注意到的周期为,只需sint220,1,2,Tn，使上式成立的最小正数为2(1)Tn取所以函数的周期为()sin[()ftAt2.前页结束后页3单调性设函数y=f(x)在区间I上有定义(即Ｉ是函数y=f(x)的定义域或者是定义域的一部分).如果对于任意的，当时，均有则称函数y=f(x)在区间Ｉ上单调增加(或单调减少).12,xxI12xx1212()()(()()),fxfxfxfx或单调增加(或单调减少)的函数又称为单调递增(单调递减)函数,统称为单调函数,使函数保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间.前页结束后页函数内是单调减少的，在区间上是单调增加的,而在区间内则不是单调函数.单调增加的函数的图形是沿x轴正向上升的；单调减少的函数的图形是沿x轴正向下降的；例如，函数内是单调增加的.3()(,)fxx在2()(,0]fxx在(,)[0,)前页结束后页4有界性设函数y=f(x)的定义域为D，数集,如果存在正数M，使得对于任意的,都有不等式成立，则称f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界.如果M为f(x)的一个界，易知比M大的任何一个正数都是f(x)的界.|()|fxMxXXD如果f(x)在x上无界，那么对于任意一个给定的正数M，X中总有相应的点，使.Mx|()|MfxM前页结束后页当函数y=f(x)在区间[a,b]上有界时，函数y=f(x)的图形恰好位于直线y=M和y=–Ｍ之间.这里取Ｍ=