您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 建筑/环境 > 工程监理 > 高等数学_第五章定积分习题课
本周调课通知周五3、4、5调至周三10、11、12A408第五章定积分习题课1.定积分的定义:2.定积分的几何意义:badxxfA)(用图表示:一、定积分的概念与性质xy()yfx0ab曲边梯形的面积(2)近似:;(3)求和;(4)取极限定积分定义的四要素:(1)分割:;nixxii,,2,1],[11iiixxx01()lim()nbiiaifxdxfx),,2,1},max{(nixi3.可积的充分条件①若在区间上连续,则在上可积.()fxba,()fxba,②若在区间上有界,且只有限个间断点,则在上可积.()fxba,()fxba,4.定积分的性质①反号性:dxxfdxxfabba)()(②与积分变量无关性:()()bbaafxdxftdt③线性性质:1212(()())()()bbbaaakfxkgxdxkfxdxkgxdx④区间可加性:()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx⑤区间长:1badxba⑥保号性:如果在区间上,,则ba,()0fx()0bafxdx⑦单调性:如果在区间上,则ba,)()(xgxf()()bbaafxdxgxdx⑧估值定理:设和分别是函数在区间上的最大值和最小值,则Mm)(xfba,baabMdxxfabm)()()(()aafxdx⑩奇偶对称性:若在上连续,则)(xfaa,二、积分上限函数与牛顿—莱布尼兹公式1.积分上限函数:xadttfxF)()()(xf是奇函数)(xf是偶函数02(),afxdx0,设函数在区间上连续,则称)(xfba,⑨定积分中值定理:如果函数在闭区间上连续,则至少存在一点,使下式成立:)(xfba,(,)ab()()()bafxdxfba(定积分与积分变量记法无关))()(xfdttfdxdxa(1)(2)).()(()()(xxfdttfdxdxa(3)()()()()()()()xxdftdtfxxfxxdx3.牛顿—莱布尼兹公式:若函数为连续函数在区间上的一个原函数,则)(xF)(xfba,baaFbFdxxf)()()(2.积分上限函数的微分三、定积分的计算方法求定积分的总体原则:先求被积函数的原函数,然后利用牛顿—莱布尼兹公式计算,即)(xf)(xFbaaFbFdxxf)()()(1.换元积分法(1)凑微分法:babaxdxfdxxxf))(())(()())(((2)变量置换法:函数满足条件:)(tx(),ab)(dtttfdxxfbatx)()()()(2.分部积分法:bababavduuvudv四、反常积分1.无穷限的反常积分()lim()taatfxdxfxdx00()()()fxdxfxdxfxdx()lim()bbttfxdxfxdx2.无界函数的反常积分设为的瑕点,则a)(xf()lim()bbattafxdxfxdx设为的瑕点,则b)(xf()lim()btaatbfxdxfxdx设为的瑕点,则有)(bcac)(xf()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxlim()lim()tbattctcfxdxfxdx五、典型例题()()()()bbaafxdxfxfbfaabbadxxf)(解:由于在上连续,且是在上的一个原函数,故ba,()fx()fx()fxba,【例1】设在上有连续导数,且是在上的一个原函数,,求ba,()fxabfbaf)(,)(()fxba,)(xf【例2】求定积分01cos2xdx解:2001cos22cosxdxxdx2022sin2sin22xx2022cos2cosxdxxdx02cosxdx注:当定积分的被积函数中包含绝对值符号时,必须设法将其去掉,并且要特别注意被积函数的符号.【例3】设,求21,1()1,12xxfxxx20)(dxxf解:21220011()(1)2fxdxxdxxdx1223101=26xxx83【例4】设求2,1(),2,1xxfxxx21)1(dxxf分析:利用变量代换将在上的定积分化为在上的定积分再计算。)1(xf2,1()ft3,0解:设,则1xtdxdt13321011=2323xxx13201=(2)xdxxdxdxxfdttfdxxf303021)()()1(【例5】设为连续函数,求)(xfbabadxxbafdxxf)()(解:令,则,当时,当时,xbatdxdtxa;tbxb.ta则()()()baabfabxdxftdt故babadxxbafdxxf0)()(()()bbaaftdtfxdx【例6】设,求2)(xexfdxxfxf10)()(解:1100()()()[()]fxfxdxfxdfx由,得2)(xexf22)(xxexf则12)1(,0)0(eff所以120()()2fxfxdxe12220()(1)(0)22fxff【例7】求定积分411xdx解:设,则ux2,2.xudxudu4211211dxuduux212=2ln(1)21ln3uu211121uduu【例8】计算定积分)0(0222adxxaxa解:令则sin,xatcos.dxat22222200sincoscosaxaxdxatatatdt44201sin48416aatt4201cos442atdt.2t当时,当时,0x0;tax42220sincosattdt4220sin24atdt【例9】计算定积分10arctanxdxx解:101arctan82xx21100arctanarctan()2xxxdxxd12212001arctan221xxxdxx12011(1)821dxx11(1)82442【例10】求定积分3434(1arctan)1cos2xxdx分析:由于积分区间为对称区间,可考虑被积函数是否具有奇偶性或部分具有奇偶性.解:原式240222cos22(cos)422xdxxdx334433441cos2arctan1cos2xdxxxdx34341cos2xdx34021cos2xdx34022cosxdx【例11】设求324,1xxdtutdxdu解:因为3241xxdtut所以21283211duxxdxxx23440011xxdtdttt32044011xxdtdttt【例12】设在上有一阶导数,)(xf,10()(),xFxxftdt(0),x求().Fx分析:函数是一个积分上限函数.将看成)(xFxdttxf10)(定积分时,是积分变量,是常量,将其视为函数时,xx是函数的自变量.t解:10()()xFxxftdt223311111111()()()()ffffxxxxxxxx12011()()()xftdtxfxx),1)(1()(10xxfdttfx)(''xF则【例13】求极限4002arctanlimxtdtxx解:4002arctanlimxtdtxx2302arctanlim4xxxx220arctanlim2xxx2201lim22xxx易错提醒:在求含有积分上限函数的极限时,一定要验证是不是未定式,若不是,不能应用罗比塔法则。如2004coslim0.11xxxdtt分析:极限为型未定式,应用罗比塔法则。00【例14】若为可导函数,且)(xf(0)0,f(0)2,f求020()lim.xxftdtx罗比塔法则得00()()limlim.22xxfxfxx注意:2)(lim0xfx1(0),2f因为没有在点连续的条件,无法求出其值。)(xf0x而由题中所给已知条件,可以考虑利用导数定义。分析:该极限为型未定式,应用罗比塔法则,有000200()()limlim,2xxxftdtfxxx此式仍为型未定式,可以继续应用00解:200)(limxdttfxxxxfx2)(lim001()(0)lim20xfxfx中所遇到的关于函数性质的研究完全可以用到该积分中来,小结:积分表示自变量为的函数,因此微分学xdttfxa)(如研究的单调性、极值、最值、极限、连续等等.xadttf)(1(0)12f【例15】设在上连续,且)(xfba,()0,fxxaxbtfdtdttfxF)()()(证明:(1)2)(xF(2)方程在内有且仅有一个实根.0)(xFba,证明:(1)1()()fxfx()(())()()xxabdtFxftdtft12()2()fxfx即有()2.Fx1()0()()abbadtFadtftft0)()(badttfbF由零点定理知方程在内至少有一根。0)(xFba,又因为,在上函数单调增加,所以方程在至多有一根。()20Fxba,)(xF0)(xFba,(2)因为在上连续,所以在上也连续.又有ba,)(xFba,)(xf所以,方程在内有且仅有一实根。ba,0)(xF【例16】设1sin,0.(),20,0xxfxxx或分析:求分段函数的变上限积分的题型,其解法是:按与被积函数相同的分段依次讨论,计算中使用定积分的可加性。所以,应分段求的表达式.)(xF当时,0x0()()xFxftdtxdt000求在内的表达式.0()()xFxftdt,解:在的定义域中,是分段函数,,)(xf)(xF当时,x00()()xFxftdt01sin2xtdt011cos(1cos);22xtx当时,x0()()xFxftdt0()()xftdtftdt01sin012xtdtdt于是0,01()(1cos),021,xFxxxx【例17】求反常积分21lnxdxx解:211ln1ln()xdxxdxx21111lnxdxxx1ln1limxxxx10lim11xx【例18】求积分2021xdx分析:被积函数在积分区间上不是连续的,211x2,0牛顿—莱布尼兹公式失效.这是一个反常积分。1x为该积分的瑕点。解:212222001111dxdxdxxxx因为1021xdx01011lnxx故该积分发散.注:由于定积分与瑕积分的表达式没有区别,在计算积分时要特别注意。222001lnln3.11dxxxx
本文标题:高等数学_第五章定积分习题课
链接地址:https://www.777doc.com/doc-4021000 .html