折纸与数学

折纸与数学上海师范大学数理学院陆新生[e-mail]一、背景折纸数理研究的进展折纸科学研究国际会议数学教育中的折纸日本英美等国中国教科书中的折纸二、折纸数理学的成立英语中有两种说法，一种为folding-paper，另一种为origami第一本专著是桑达拉写于1896的《折纸中的几何练习》1924年拉波出版了《折纸的操作》贝洛柯于1935和1936年分别发表了优秀论文《用折纸解几何问题》和《用折纸解3次和4次方程》二、折纸数理学的成立（续）70年代，日本学者将目光重新投向折纸中的数理特别是伏见康治夫妇的著作《折纸几何学》之后在日本形成了一个研究折纸数理的高潮，结成了多个研究团体，也出版了许多的专著芳贺和夫、阿部恒、堀井洋子、布施知子、笠原邦彦、前川淳等学者作出了较大的贡献。二、折纸数理学的成立（续）进入90年代，在世界上许多国家掀起一股热潮起因可能与1989年在意大利的费拉拉召开的第一届折纸科学国际会议有关。1994年在第二届折纸科学国际会议上，日本学者芳贺和夫提议，在origami的词未加上后缀ics，用来表示正在形成的用折纸来探究数理的一门新学问三、折纸研究数学工学—破坏工学、汽车新材料、气囊生活—易打开的地图、新型饮料瓶建筑学—轻巧、结实大楼的设计生物学—蛋白质折纸医学—微型手术刀、支架、人造血管航空、航天—太阳能集光板、射电望远镜、降落伞的折叠、航天飞船船帆艺术1艺术2折纸的应用例馆知宏（2006）人造血管:牛津大学ashi的发明栗林的发明四、折纸与分数分数的概念同分母分数的加、减法分数的性质异分母分数的加减法分数的乘除法五、折纸与图形的性质几个概念垂直、平行、对称图形的面积三角形、平行四边形、梯形图形的性质三角形的中线、高、角平分线六、折纸几何学公理1)给定两点P1、P2，总能折一条线过这两点（连点折）2)给定两点P1、P2，总能将点P1折到点P2（合点折）3)给定两直线L1、L2，总能将直线L1折到直线L2上（合线折）4)给定一点P1及一直线L1，总能过点P1折一直线垂直于直线L15)给定两点P1、P2及一直线L1，总能过点P2折一直线使得直线L1过点P1（圆规折)6)给定两点P1、P2及两直线L1、L2，总能折一直线使得直线L1过点P1且直线L2过点P2（三维折)七、基本折法及其性质(1)基本折法连点折，圆规折，三维折，线自折，合点折，合线折(2)各种折法的性质连点折折痕为过两点的直线合点折折痕垂直平分连接两点的线段合线折折痕平分两线所成的角线自折折痕垂直于该线八、折纸的种类正方形折纸特殊比例的长方形折纸圆形折纸三角形折纸正多边形折纸九、折纸问题的展开例（一）芳贺折纸三定理1.芳贺第一定理折法发现理由设BA＝BC＝1，BF＝a，则BE＝1/2，EF＝FC=1－a，由勾股定理得解之得a＝3/8，EF＝CF＝5/8利用△AHE、△BEF与△IHG的相似关系可以求得AH=2/3，EH=5/6，HI=1/6，GI=1/8，HG=5/24222)1(21aaABCDIFEGH5yCDABB'PA'QRx6y2y3y4y1yxx11CDABB'PA'QRx2)1(2x212xxx12xx11212xxx112.芳贺第一定理的一般化(1)一般化1(中点→任意点)1/23/82/35/61/81/31/32/34/95/181/24/55/613/152/91/181/21/51/43/415/327/322/56/717/204/79/321/323/51/71/52/53/54/512/2521/508/259/501/34/73/48/913/1529/3517/2041/458/259/502/251/502/33/71/41/91/65/635/7211/722/710/1137/4261/6625/721/725/71/11x1y2y3y(2)一般化2(正方形→长方形)复印纸的特征长边∶短边=∶1两大系列：A系列与B系列A系列最大尺寸为A0，其面积为1平方米；B系列最大尺寸为B0，其面积为1.5平方米．2容易推得A4两边的长分别为与米（1189mm与841mm）.容易推得B4两边的长分别为与米（1456mm与1030mm），详细见下表.4124124322341223A0A1A2A3A4A5A6841×1189594×841420×594297×420210×297148×210105×148B0B1B2B3B4B5B61030×1456728×1030515×728364×515257×364182×257128×182A型、B型复印纸规格（单位mm）复印时的扩大与缩小扩大缩小A5→A3B6→B4200％A3→B4A4→B587％A4→A3B5→B4141％B4→A4B5→A582％A4→B4A5→B5122％A3→A4B4→B571％复印纸中的几个关系A4A5B4B4A4A5复印纸的秘密ABCDEFGHI③复印纸的芳贺第一定理折法（横放)折法∶（略）猜想∶确认∶222222)1()1()1()1(2pqqqpxpqqpyqqpxqpy21122)1(2:)1(:)1(2222pqpqpq(3)一般化3(一边中点→正方形内任一点)EF所在直线的方程为折痕线FG的方程为注∶如果求出Rt△EFH各边的长，那么我们还能得到求毕达哥拉斯数的一般公式4.芳贺第一定理的应用应用芳贺第一定理我们可以折出任意的真分数，并能折得任意精度的角．(1)折分数方法1∶利用前述的芳贺定理一般化(1)中得到的y2的公式可知当x＝1/n时,y＝2/(n+1)，对折后可得1/(n+1)，即由1/n可折得1/(n+1)，这样我们由1/2开始可连续折可折得任一单位分数.方法2∶利用前述的分数表可快速折得任一真分数4.芳贺第一定理的应用第一定理我们可以折出任意的真分数，并能折得任意精度的角．(1)折分数该怎样折任一分数?方法1∶利用前述的芳贺定理一般化(1)中得到的y2的公式可知当x＝1/n时,y＝2/(n+1)，对折后可得1/(n+1)，即由1/n可折得1/(n+1)，这样我们由1/2开始可连续折可折得任一单位分数.方法2∶利用前述的分数表可快速折得任一真分数利用上面的结果，我们可以折出任意精度的角．原理∶如右图所示，若要折的角α的正切值与某分数接近，则我们先想法折出该分数，把表示该分数的点E与点B连接得角α，则α即为所要折的角．例∶由于tg32.00538…°＝5/8，所以只要折出表示5/8的点E，再折一条连接点B、E的折痕线即可得很精确的32°角BACDE(2)折任意角利用顺藤摸瓜的方式可折出其他一些角32°→16°→8°→4°→2°→1°＼＼＼＼＼＼58°→29°74°→37°82°→41°86°→43°88°→44°89°＼＼＼＼61°53°49°47°这样我们可以折出48种角度的角．通过其它的一些辅助角，可以得到1～89°的所有角44°→22°→11°＼＼＼46°→23°68°→34°→17°79°＼＼＼67°56°73°56°→28°→14°→7°＼＼＼62°→31°76°→38°→19°83°＼＼＼59°52°→26°→13°71°＼＼64°77°40°角的近似折法因为所以，只要我们能折出485/578就能得到相当精确的40°角实际上，只需进行三次芳贺第一定理折法，便可得到485/578.具体方法是∶先取前述的第一定理一般化1中，先取x为1/4得y2＝2/5，由此依次折出3/5、3/10便得7/10．再取x为7/10得y2＝14/17.最后取x为14/17,得y1＝93/578,并由此得485/578000024.40578485tan15.芳贺第二定理芳贺第三定理ABCDGEFSSTRRABCDEFGH折法∶对点F、G的位置作出猜想∶给出理由∶折法∶对点点H的位置作出猜想∶给出理由∶ABCDEF（二）三角形折纸1.米仓定理问题的起源米仓的发现米仓定理的证明米仓定理的一般化1∶田尻定理证明米仓定理的一般化2上村定理证明证明思路△EOA与△OAB同为等腰三角形且底角相等，而∠ACB等于∠AOB的一半，故∠ACB=∠AEF上村定理变式1上村定理变式2田尻定理的一般化渡边定理∶内心与外心相对定理正三角形折纸如右上图所示，将正三角形一顶点A折至对边BC上的任一点D(B、C除外)，你有何发现，能说出理由吗?这个结论对一般三角形是否成立?角平分线分对边成比例线段的证明ABCDEFOCDBDACABEFBDAEAB猜想:理由:(三)折图形面积的1/n折法:折一面积为原面积n分之一的正方形波兰科学院院士施泰因豪斯(H.D.Steihaus,1887-1972)《数学万花镜》参见沈康身著《数学的魅力1》（四）正方形折纸线边合折问题——子母线问题发现了什么规律?为什么?线边折交点性质说明图（五）X型折线问题你对图形中的数量关系有什么猜想吗?说明图中数量关系的图（六）圆形折纸问题（七）二次曲线用圆形折纸折椭圆用圆形折纸折双曲线抛物线的折法（八）用折纸来探究：1.梯形面积公式的推导三角形面积公式的推导（九）用折纸来探究（续）：2.三角形的中线、高线、角平分线（十）几个课题1.正三角形的折法折法1折法2折法32.拉丁十字架能折成什么样的立体？1.能折成什么样的立体？2.拉丁十字架的展开3.一刀剪（1）剪正方形（2）剪五角星（3）剪三角形（4）剪乌龟4.三浦折法用三浦折法折地图宇宙飞船船帆5.折直角三角板（1）30度、60度直角三角板的折法（2）45度直角三角板的折法（3）用直角三角板来探索6.折七巧板（1）七巧板的折法（2）用七巧板来探索（3）七巧板折纸作品7.四点合折问题四点合折四点合折四点合折四点合折变式长方形三角形高考题