简谐振动的相位

§15-1简谐振动机械振动：物体在一定位置的附近作来回往复的运动(周期性或非周期性)成因：物体的惯性和所受的回复力简谐振动:物体距平衡位置的位移(或角位移)随时间按余弦(或正弦)函数变化一.简谐振动的特征1.动力学特征kxF0xm胡克定律：物体所受弹性力与物体的位移成正比而反向即----动力学特征0Fxm0F2.运动学特征22ddtxmFkxmk2令0dd222xtx解得)cos(tAx速度txvdd)sin(tvm位移)cos(tAx----简谐振动表达式)sin(tA22ddtxa)cos(2tA)cos(tam加速度即xa2----简谐振动的运动学特征----简谐振动的振幅,物体离开平衡位置最大位移的绝对值----简谐振动的初相位t----简谐振动的相位A----圆频率(2秒内的振动次数)讨论：由初始条件可确定A和：设t=0时，cos0Axsin0Av;2020vxA00ctgarxv0xx0vv)cos(tAx固有频率和固有周期：----周期和频率由振动系统本身的性质所决定，与A和无关mk2T;2kmT1mk21二.谐振动的旋转矢量表示法0xxxA0M1MtAAOMt=0：cos0Axt时刻)cos(tAx参考圆逆时针旋转OAM振幅矢量[例1]用旋转矢量法讨论质点初始时刻位移为以下情况时谐振动的初相位：A；-A；0，且向负方向运动；-A/2，且向正方向运动。xO2AAA解：由旋转矢量法得02343432或2三.相位差和相位的超前与落后)cos(1111tAx)cos(2222tAx设相位差)()(1122tt)()(1212t12----初相差与t无关同频率时12012即----同相12即----反相012即----第二个谐振动超前第一个谐振动[例2]如图的谐振动x-t曲线，试求其振动表达式。s/tm/xO212解：由图知s2,m2TAT2设振动表达式为)cos(tAx)sin(tAvt=0时：0xcos0A2即又0v即0sinA0sin2m)2cos(2txxO2旋转矢量法20,0vx[例3]质量为0.01kg物体作周期为4s、振幅为0.24m的简谐振动。t=0时,位移x=0.24m。求(1)谐振动表达式；(2)t=0.5s时,物体的位置和所受的力；(3)物体从初始位置运动至x=-0.12m处所需的最短时间。解：(1)设振动表达式为)cos(tAxm24.0As4TT22由旋转矢量法得0m2cos24.0tx24.0x024.0(2)t=0.5s:212cos24.0xm17.0Ax0maFxm217.0)2(01.02N1019.4324.0x024.032mintx0AA4T12T6T或124minTTts34232mints3432mint(3)12.0[例4]一弹性系数为k的轻弹簧,下挂一质量为m的砝码。开始时用手托住砝码,使弹簧为原长,放手后砝码开始振动。证明砝码作谐振动,并写出振动表达式m0yy0mk解：建立如图坐标系，原点为物体静平衡时位置，它距弹簧原长位置为y0mgky0kmgy0在y处时22ddtymFmg)(0yykFmm0yy0k220ddtymkykymg设0dd22ymkty则0dd222ytymk----得证即设振动表达式为)cos(tAy由旋转矢量法得y0AAcosAyA0yt=0时kmgkmgA)cos(tmkkmgym[例5]如图系统，已知物体质量为m，光滑斜面倾角为,自由转动的定滑轮半径为R,转动惯量为J,弹簧弹性系数为k。开始时物体静止,弹簧为原长,重物下滑后开始振动。(1)证明重物作谐振动,并写出振动表达式；(2)求重物下滑的最大距离,并用机械能守恒定律验证m1T'1T'2T2Tmg0sin1Tmg021RTRT02kxTkmgxsin0设系统处于静平衡时弹簧伸长x0x0取物体静平衡位置为坐标原点，沿斜面向下建立坐标系解：(1)物体振动221ddsintxmTmgJRTRT21)(02xxkT可得0dd222xRJmktx----谐振动其解为)cos(tAxm1T'1T'2T2Tmgx0其中2RJmk由旋转矢量法得0xAkmgsin)cos(sin2tRJmkkmgx而(2)物体下滑的最大距离为Axs0kmgsin2由机械能守恒定律221sinkssmgkmgssin2s四.常见简谐振动1.单摆lmg由转动定律有222ddsintmlmgl0sindd22lgt很小时有0dd22lgt)cos(tm可得角谐振动表达式其中lg2.复摆m为角振幅0Clmg由转动定律有22ddsintJmgl0dd22Jmglt很小时有JmglmglJT2角频率周期单摆和复摆谐振动的频率由系统本身的性质决定)cos(tm五.谐振动的能量以弹簧振子为例:pkEEE222121kxmv)(cos21)(sin2122222tkAtmA221kA2221Ammk弹簧振子的动能和势能是随时间(或位移)而变化的)(cos21)(sin2122222tkAtmA讨论:总的机械能保持不变，即动能和势能相互转化谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比221kAE[例6]一水平放置的弹簧振子，质量为m，弹性系数为k，当它振动时，在什么位置动能和势能相等？它从该位置到达平衡位置所需的最短时间为多少？解：(1)222121kxmv)(cos)(sin22222tkAtmA即)(cos)(sin22tt4kt)cos(tAxA22因此(2)Ox4t2)(ttA2242t4kmt4阻尼振动：能量或振幅随时间而减小的振动粘滞阻力vf阻----阻尼系数§15-2阻尼振动txkxtxmdddd22物体在回复力和阻力的作用下有令mk20m20----无阻尼时振子的固有圆频率----阻尼因子0dd2dd2022xtxtx特征方程为02202rr特征根为202r1.弱阻尼：02202,1ir其解为tAextcos其中220阻尼振动的振幅Ae－βt随时间而衰减。β越大，阻尼越大，衰减越快周期性变化----阻尼振动周期。质点每连续两次通过平衡位置并沿相同方向运动所需时间间隔是相同的)'cos(t2202'2'T020T阻尼振动不是谐振动，也不是周期运动xt2.过阻尼：02022,1r)(20220221tttececex越大，振幅衰减越快xtO阻尼过大时，在未到达平衡位置前，能量就消耗完毕临界阻尼3.临界阻尼：021rrtccext21----物体总能回到平衡位置小结：对阻尼振动，物体都随t的增大而趋于平衡位置。临界阻尼状态下运动物体回到平衡位置所需时间最短xt过阻尼自由振动：振动过程中，除弹性力(或准弹性力)和阻尼力外，无其它维持振动的外力(强迫力)受迫振动：振动系统在连续周期性外力(强迫力)作用下发生的振动1.振动方程设周期性外力为tFFcos0F0:强迫力力幅:强迫力的角频率§15-3受迫振动共振tFtxkxtxmcosdddd022令mk20m2mFh0thxtxtxcosdd2dd2022在弱阻尼时(0)，方程的解为)cos('cos0tAteAxt齐次方程通解非齐次方程特解和谐振动合成的受迫振动是由阻尼振动'cos0teAt)cos(tA讨论：阻尼振动随时间而衰减，至一定时刻受迫振动达到稳定状态，此时系统作谐振动稳态振动方程为)cos(tAx----谐振动xt过渡状态稳定状态2.稳态振幅和初相位将)cos(tAx代入微分方程thxtxtxcosdd2dd2022得)sin(2)cos(2tAtAthtAcos)cos(20t=0时hA]sin2cos)[(2202t0]cos2sin)([220A可求得2202tg2222204)(hA讨论：0或0，受迫振动振幅较小0时，受迫振动振幅较大0A00较小较大3.共振共振：受迫振动的振幅出现极大值的现象共振圆频率：共振时周期性外力(强迫力)的圆频率求极值，令ddA]4)([dd222220h0共振时振幅2202hA讨论:β越小,共振圆频率共振越接近受迫振动系统的固有圆频率0，共振时振幅也越大，共振现象越尖锐可得圆频率2202共振实际中不可能为零，即总有能量损失，而且振动越强，损失越大。因此越小，共振所达到的最大振幅也越大，但不会达到无限大。Tacoma大桥被风损坏的情景视频一.同方向同频率谐振动的合成1.代数法111costAx222costAx设有两个谐振动§15-4同方向谐振动的合成21xxx)sinsincos(cos111ttA)sinsincos(cos222ttAcosAtAcossinAtAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211由coscoscos2211AAAsinsinsin2211AAA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintgAAAA得x2.旋转矢量法11AA1x2x22A2x0x21xxxtAcos12coscoscos2211AAA讨论:合振动仍然是简谐振动，其频率与分振动相同合振动振幅不但与两分振动的振幅有关，而且与相位差有关21AAA),1,0(212kk时(同相)maxAtAxcos)cos(212212221AAAAA),1,0()12(12kk时(反相)21AAAminA[例7]已知两谐振动的曲线(如图),它们是同频率的谐振动,求它们的合振动方程。55cm/xs/t005.01.012解：由图知cm5As1.0TT220振动1在t=0时：00x00v21振动2在t=0时：cm50x2cm)220cos(51txcm)20cos(52tx55cm/xs/t005.01.012xO1M2M45A由旋转矢量法2