数列中的探索性问题分类解析

数列中的探索性问题分类解析河南省三门峡市卢氏一高赵建文E-mail:[e-mail]近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题.现将这三类问题的解法总结如下，供同学们学习时参考.一、条件探索性问题对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．例1已知正项数列{na}满足1nnSS=22nta(n≥2,t＞0)，1a＝1，其中nS是数列{na}的前n项和．（Ⅰ）求数列{na}的通项公式；（Ⅱ）记数列{11nnaa}的前n项和为nT，求t的取值范围使nT＜2对所有的n∈*N*都成立．解：∵1a＝1，1nnSS=22nta，得2a=22ta，∴2a＝0（舍）或2a＝1t，∵1nnSS=22nta①∴12nnSS=212nta（n≥3)②①－②得1nnaa=221()nntaa，即11()[1()]nnnnaataa=0∵数列{na}为正项数列，∴1nnaa≠0，∴1nnaa＝1t（n≥3），即数列{na}从第二项开始是公差为1t的等差数列．∴na＝1112nnnt.（2）∵1T＝t，当n≥2时，nT=2222122334(1)tttttnn＝21(1)ttn要使nT=21(1)ttn＜2,对所有的n∈*N*恒成立，∵t＞0,∴只要22tt＞11n所有的n∈*N*恒成立，∵11n＜1，∴只要22tt≥1，解得0＜t≤1．∴t的取值范围为(0,1].点评：对条件探索性问题，解题的基本策略为执果索因，先寻找使结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件.注意在执果索因的过程中，要考虑推理过程是否可逆，不要将必要条件误当充分条件.确定条件是否多余要着眼于每个条件对所求或所证的对象的确定性，判定条件正误多从构造反例入手.二、结论探索性问题探索结论型问题是指那些题目结论不明确、或者答案不唯一，给同学们留有较大探索余地的试题．一般是由给定的已知条件求相应的结论。它要求同学们充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分同学们的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．例2已知等比数列{na}的前n项和为nS=23nk(k∈R,n∈*N)（Ⅰ）求数列{na}的通项公式；（Ⅱ）设数列{nb}满足na=4(5)nnabk，nT为数列{nb}的前n项和，试比较316nT与14(1)nnb的大小，并证明你的结论．解：（Ⅰ）由nS=23nk(k∈R,n∈*N)得:n≥2时，na=1nnSS=143n∵{na}是等比数列，∴1a=1S=6k=4，∴k=－2，得na=143n（n∈*N）；（Ⅱ）由na=4(5)nnabk和na=143n得nb=1143nn，∴nT=1b＋2b＋3b＋…＋nb=143＋2243＋…＋2243nn＋1143nn（1）3nT=14＋243＋…＋3243nn＋2143nn（2）∴(2)－（1）得，2nT=14＋143＋2143＋…＋3143n＋2143n－1143nn=1321883nn∴nT=132116163nn∴14(1)(316)nnnbT=1(1)2133nnnnn=(1)3(21)3nnnn=2533nnn，∴当n≥6时，有253nn＞0，所以当n≥6时，有316nT＜14(1)nnb，当1≤n≤5时，有253nn＜0，所以当1≤n≤5时，有316nT＞14(1)nnb，综上所述：当n≥6时，有316nT＜14(1)nnb；当1≤n≤5时，有316nT＞14(1)nnb.【点评】对结论探索型问题，先充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，在论证.三、存在性探索问题通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．例3已知数列{na}的前n项和为nS=235nn，在数列{nb}中，1b=8，164nnbb=0，问是否存在常数c使得对任意n，logncnab恒为常数M，若存在求出常数c和M,若不存在说明理由.解析：假设存在常数c使得对任意n，logncnab恒为常数M，∵nS=235nn，∴当n=1时，则1a=1S=8，当n≥2时，na=1nnSS=2235[3(1)5(1)]nnnn=62n，当n=1适合，∴na=62n，又∵164nnbb=0，∴1nnbb=164，∴数列{nb}是首项为8，公比为164的等比数列，∴nb=118()64n=962n，则logncnab=9662log2ncn=62(96)log2ann=6(1log2)29log2aan，又∵对任意n，logncnab恒为常数M，∴6(1log2)a=0，解得c=2，∴M=29log2a=11，∴假设存在常数c=2使得对任意n，logncnab恒为常数M=11.点评：对存在性问题，先假设题中数学对象存在（或结论成立）或暂时认可其中一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，则说明存在性得以证明.