6数字信号处理技术2

燕山大学机械学院6.5DFT与FFT第六章、数字信号处理技术1、离散傅立叶变换离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词。x(t)截断、周期延拓xT(t)周期信号xT(t)的傅里叶变换：对周期信号xT(t)采样，将离散序列xT(n),将积分转为集合：傅里叶变换公式燕山大学机械学院按上式，用计算机编程很容易计算出指定频率点的值：f=？//计算的频率点Fs=5120N=1024dt=1.0/Fspi=3.1415926XR=0XI=0Forn=0ToN-1XR=XR+x(n)*cos(2*pi*f*n*dt)*dtXI=XI+x(n)*sin(2*pi*f*n*dt)*dtNextA=sqr(XR*XR+XI*XI)Q=atn(XI/XR)VBScript样例6.5DFT与FFT展开，得连续傅立叶变换计算公式：燕山大学机械学院6.5DFT与FFT连续傅立叶变换编程计算实验：燕山大学机械学院采样信号频谱是一个连续频谱，不可能计算出所有频率点值，X(f)只能离散取值，频率取样间隔定义为：Δf=fs/N频率取样点为｛0,Δf,2Δf,3Δf,....｝，有：该公式就是离散傅立叶计算公式(DFT)6.5DFT与FFT燕山大学机械学院6.5DFT与FFT2、快速傅立叶变换快速傅立叶变换(FFT)是实施离散傅立叶变换的一种有效的算法，通过仔细选择和重新排列中间结果，在速度上较之离散傅立叶变换有明显的优点。展开各点的DFT计算公式：XR(1)=x(0).cos(2pi*0*1/N)+x(1).cos(2pi*1*1/N)+x(2).cos(2pi*2*1/N)…..XR(2)=x(0).cos(2pi*0*2/N)+x(1).cos(2pi*1*2/N)+x(2).cos(2pi*2*2/N)…..其中有大量重复的cos、sin项的计算，FFT的作用就是用技巧减少cos、sin项的重复计算。当采样点数为1024点,DFT要求一百万次以上计算量，而FFT则只要求10240次。燕山大学机械学院6.6栅栏效应与窗函数第六章、数字信号处理技术1、栅栏效应采样信号的频谱，为提高计算效率,通常采用FFT算法进行计算，设数据点数为：N=T/dt=T.fs则计算得到的离散频率点为:Xs(fi)，fi=i.fs/N,i=0，1，2，.....，N/2这就相当于透过栅栏观赏风景，只能看到频谱的一部分，而其它频率点看不见，此种现象被称为栅栏效应。如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。燕山大学机械学院6.5DFT与FFT栅栏效应误差实验：燕山大学机械学院6.6栅栏效应与窗函数2能量泄漏与栅栏效应的关系频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。从这个意义上来说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号时域截断产生的能量泄漏误差，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。燕山大学机械学院6.6栅栏效应与窗函数能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。燕山大学机械学院6.6栅栏效应与窗函数3常用的窗函数1）矩形窗2）三角窗燕山大学机械学院6.6栅栏效应与窗函数3）汉宁窗常用窗函数燕山大学机械学院6.5DFT与FFT窗函数在减小栅栏效应误差中的作用实验：燕山大学机械学院6.5DFT与FFT总结：信号截断能量泄漏FFT栅栏效应从克服栅栏效应误差的角度看，能量泄漏是有利的。燕山大学机械学院6.5DFT与FFT通过加窗加大能量泄漏，减小栅栏效应误差：加矩形窗加BlackMan窗燕山大学机械学院6.6栅栏效应与窗函数动手做：设计一个离散傅立叶计算程序，计算方波的频谱。观察栅栏效应带来的计算误差。燕山大学机械学院6.6栅栏效应与窗函数思考题：1.A/D，D/A转换器的主要技术指标有那些？2.信号量化误差与A/D，D/A转换器位数的关系？3.采样定理的含义，当不满足采样定理时如何计算混迭频率？4.A/D采样为何要加抗混迭滤波器，其作用是什麽？5.数字信号处理中采样信号的频谱为何一定会产生能量泄漏？6.用FFT计算的频谱为何一定会存在栅栏效应误差？7.窗函数的作用是什麽？燕山大学机械学院燕山大学机械学院燕山大学机械学院燕山大学机械学院燕山大学机械学院燕山大学机械学院燕山大学机械学院燕山大学机械学院燕山大学机械学院燕山大学机械学院燕山大学机械学院