第四章控制系统的稳定性

控制工程基础湖北工业大学第四章控制系统的频域分析4-1控制系统的稳定性4-2线性系统稳定的充要条件4-3Routh-Hurwitz稳定判据4-4控制系统稳定性的频域判据4-5控制系统的相对稳定性控制工程基础湖北工业大学4-1控制系统的稳定性设计控制系统时应满足多种性能指标，但最重要的技术要求是系统必须稳定。因为稳定性是系统能够正常工作的首要条件，只有工作稳定才能进一步讨论其他性能指标。一、稳定性的基本概念控制系统在实际运行过程中，总会受到外部和内部的扰动，例如火炮射击时，施加给火炮随动系统的冲击负载；雷达天线跟踪时，突然遇到阵风以及其他系统负载和能源的波动、系统参数的变化、外部环境条件的改变等等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动的作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性，并提出保证系统的措施，是自动控制的基本任务。控制工程基础湖北工业大学设线性定常系统处于某一平衡状态，若此系统在干扰的作用下偏离原来的平衡状态，当干扰作用消失后，系统能否回到原来的平衡状态，这就是系统的稳定性问题。如果系统在扰动作用消失后，能够恢复到原平衡状态，即系统的零输入响应是收敛的，则系统为稳定的。相反，若系统不能恢复到原平衡状态，或系统的零输入响应是发散的，则系统为不稳定的。图3.14（a）所示的系统，小球在最低点处于平衡状态，当受到外力作用小球会偏离最低点，在外力消失后，小球经一段时间左右运动后，最后回到平衡点，所以该系统是稳定的。（a）(b)图3.14系统稳定性示意图控制工程基础湖北工业大学而图3.14（b）所示的系统，当小球受力偏离最高点时将会越滚越远，不会回到平衡位置，所以系统是不稳定的。综上所述，如果线性系统受到扰动的作用而使输出量发生偏差，产生。扰动消失后，经过足够的时间，该偏差的绝对值能小于一给定的正值，即则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。二、线性系统稳定的充要条件上述稳定性定义表明，控制系统的稳定性取决于瞬态响应。故线性系统的稳定性仅取决于系统本身的固有特性，而与外界条件无关。因此，可设系统的初始条件为零，用单位脉冲函数作用于系统，这时系统的输出增量为脉冲响应此时视为系统的扰动输入，若，则系统稳定。)(0tx)(0tx)(lim0txt)0()(t)(t)(t0)(limtt控制工程基础湖北工业大学设系统闭环传递函数为：假定系统的特征方程有个不同的实数根和对不同的共轭复数根，则扰动作用下系统下输出为：（3.47）对上式进行拉氏变换，有(3.48)011101110)()()(asasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmirknknkkknkknkkkqjjjssCsBssAsGsW1222121)()()()1sin()exp()1cos()exp()exp()]([)(212111ttCttBtsAsWLtknkrknkkkknkrknkkkqjjjqr控制工程基础湖北工业大学由式（3.48）可知，当系统全部特征根都具有负实部时，。综上所述，线性控制系统稳定的充要条件是系统特征方程的所有根具有负的实部；或特征根全部在s平面的左半平面。如果系统有一个根在s平面的右半平面，则系统不稳定。在工程实际中，所有物理上可实现的系统都存在非线性，受引发振荡的能量限制，系统的输出量只能增大到一定程度，此后输出将形成大幅度的等幅振荡。若特征根中有纯虚根，其余根均在s平面左半平面，则系统成为临界稳定。由于在对实际系统建立数学模型的过程中进行了一些简化和假设，所研究的系统实质上都是线性化的系统，对系统参数的估计和测量可能不够准确，而且系统在实际运行过程中，参数值也处于不断的微小变化中，因此原来处于虚轴上的极点实际上可能变动到s的右半平面，致使系统不稳定。),,2,1(nisi0)(limtt控制工程基础湖北工业大学从工程控制的实际来看，一般认为临界稳定往往属于稳定。判断控制系统稳定稳定性的方法有两大类：一类是直接求解系统特征方程，根据极点的分布来判定系统稳定性；另一类是不求解特征方程的间接方法，如：Routh-Hurwitz判定判据。三、Routh-Hurwitz稳定判据线性定常系统稳定的充要条件是其全部特征根具有负实部。运用此方法需要求出系统传递函数的全部极点，才能判断系统是否稳定。但在实际工程系统中，特征方程的阶次往往较高，不使用计算机直接求和比较困难。这样就提出了各种不解特征方程的根，而只讨论特征根的分布，从而判断系统稳定性的方法。3.6.3.1系统稳定的必要条件设系统特征方程为：（3.49）将式（3.49）各项同除并分解因式，得：（3.50）0)(0111asasasasDnnnn)())((210111nnnnnnnssssssaasaasaas控制工程基础湖北工业大学式中，，…为系统的特征根。将上式右边展开，得：（3.51）比较式（3.50）与式（3.51），可得：从式（3.52）可知，要使全部特征根均具有负实部，必须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件。（1）特征方程的各项系数都不为零。（2）特征方程的各项系数的符号相同。按习惯，一般取为正值，因此系统稳定的必要条件是：1s2snsniinnjnjiinniinnsssssssssssssji121,1121)1()()()())((niinnsaa11jnjiinnssaaji1,2kjnkjiinnsssaakji1,,3niinnsaa10)1(),2,1,0(niaiia0,,,011aaaannna控制工程基础湖北工业大学这一条件并不充分，对各项系数均为正且不为零的特征方程，还可能有正实部的根。因为当特征根有正有负时，它们组合起来仍能满足式（3.52）中各式。若系统不满足稳定的必要条件，则系统比不稳定。若系统满足稳定的必要条件，还需进一步判定其是否满足稳定的充分条件。3.6.3.2Routh（劳斯）判据Routh判据是根据系统特征方程的各项系数进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件，从而判断系统的稳定性。因此这种稳定判据又称代数稳定判据。（1）Routh表的排列将式（3.49）所示的系统特征方程系数先构成Routh表的前两行，第一行由特征方程的第1，3，5，…项的系数组成；第二行由特征方程的第2，4，6，…项的系数组成。以后各行的数值需逐行计算，这种排列一直进行到第n行，构成Routh表。控制工程基础湖北工业大学表中，1011212432134321275311642gsfseesccccsbbbbsaaaasaaaasnnnnnnnnnnnn13211nnnnnaaaaab15412nnnnnaaaaab17613nnnnnaaaaab控制工程基础湖北工业大学系数的计算一直进行到其余的值全部为零为止。这一计算过程一直计算到第n行为止，为简化数值计算，可用一个正整数去乘或去除某一行的各项，这并不改变稳定性的结论。（2）Routh稳定判据Routh判据指出，系统特征方程具有正实部的数目等于Routh表列中第一列的各元素符号改变的次数。系统稳定的充要条件是Routh表中第一列的各元素的符号为正，且值不等于零。ib121311bbaabcnn131512bbaabcnn141713bbaabcnnb控制工程基础湖北工业大学例3.3系统的特征方程为试用Routh判据确定系统是否稳定。解：特征方程的所有系数均为正实数，列出劳斯表列如下：因为上边计算出劳斯表中第一列数值也全部为正实数，所以系统是稳定的。2791/6150267/7916/586/67217610141012345ssssss0210171462345sssss控制工程基础湖北工业大学例3.4系统的特征方程为试用Routh判据确定系统是否稳定。解：特征方程的所有系数均为正数，列出劳斯表列如下：考察第一列数值的符号的变化，数值在5→－11→174/11处符号发生了两次改变，所以系统不稳定，特征方程有两个正根。065232345sssss1511/174151195613521012345ssssss控制工程基础湖北工业大学（3）Routh判据中的特殊情况情形一：Routh表中任一行的第一个元素为零，其他各元素不全为零。此时由于第一元素为零，将使下一行的各元素趋于无穷大，而Routh表无法排列。这时可以用一个很小的正数代替零，继续列Routh表，然后令来研究Routh表中的一列的符号。例3.5系统的特征方程为试用Routh判据确定系统是否稳定。解：根据特征方程列Routh表：0122234ssss010/2201002211101234sssss0控制工程基础湖北工业大学由于第一列各元素符号有改变（从），所以系统不稳定。第一列各元素符号改变两次，因此特征方程有两个具有正实部的根。情形二：Routh表中任一行的所有元素均为零，表明在根平面内有对称分布的根，此时可用该行上一行的元素构成一个辅助多项式，取辅助多项式的一阶导数代替Routh表中的零行，继续列Routh表。解辅助多项式可得出特征方程中对称分布的根。例3.6系统的特征方程为：试用Routh判据确定系统是否稳定。解：根据特征方程列Routh表：（中间两行各元素除以2）1/220161620128223456ssssss0000861086101620813456ssss控制工程基础湖北工业大学由第三列各元素组成的辅助多项式：上式表明，有两对大小相等符号相反的根存在。通过解上式可求得这两对根。辅助多项式对S的导数为：用4和12代替行中的零元素，列出Routh表为：（各元素除以4）086)(24sssFsssFdsd124)(383/1830310861086101620810123456sssssss3s控制工程基础湖北工业大学在新排列的第一列中符号没有变化。可以断定，特征方程没有一个具有正实部的根。解辅助多项式得：，。可见系统是临界稳定的。3.6.3.3Hurwitz(赫尔维兹)判据Hurwitz判据是根据系统特征方程的系数来判别系统稳定性的另外一种方法，即将系统特征方程的系数作一个行列式，通过对行列式的操作来判定系统稳定性。对于式（3.49）所示的系统的特征方程，作出它的系数行列式：086)(24sssF2js2js控制工程基础湖北工业大学在的情况下，系统稳定的充要条件为：上述行列式的各阶主子式均大于零，即：021231425310000000000000aaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnn011na2312nnnnaaaa314253130nnnnnnnnaaaaaaaa0na0n控制工程基础湖北工业大学式（3.53）所示的系数行列式又称为Hurwitz行列式，它的排列规律简单明确，使用也比较方便。但对六阶以上的系统，由于行列式计算麻烦，故很少使用。对于n≤4的线性系统，其稳定的充要条件可表示为如下简单形式：上述结果与Routh判据所得结果相同。这表明Hurwitz判据虽然在形式上与Routh不同，但实际结论是相同的。；，，：0002012aaan；，，，，：00000330120123aaaaaaaan；，，，，，：000000423042112301234aaaaaaaaaaaan控制工程基础湖北工业大学例3.7系统的特征方程为：试用Hurwitz判据确定系统是否稳定