材料力学(土木类)第五章 梁弯曲时的位移(1)

第五章梁弯曲时的位移§5-1梁的位移—挠度及转角研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。与y同向为正，反之为负。2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：w=f(x)三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量FxwCC1yxfwtan小变形§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程EIxMx123211wwx因为在小变形情况下：lw112w所以：wx1⇒EIxMwEIxMw即：xMwEI对于本书采用的坐标系，由下图可见：MM0,w″0xyMM0,w″0xy对等直梁：此即为挠曲线的近似微分方程二、求挠曲线方程（弹性曲线）)()(xMxEIw1d))(()('CxxMxEIw11dd))(()(DxCxxxMxEIw1.微分方程的积分C1、D1为常数，由梁的边界条件（包括位移约束和连续条件）确定。常数C1、D1确定后，代入上两式即可分别得到梁转角方程和挠曲线方程，从而可确定任一截面的转角和挠度。2、积分常数确定FABCFD0,0BAww0,0DDw位移边界条件：连续条件：光滑条件：右左CC右左CCww例5-1由积分法求图示梁的wA、A。FABl解：1、弯矩方程yxxFxxM)(2、微分方程及积分DCxxFEIwCxFEIwFxEIw3262'3、确定积分常数3,0;20',32FlDwFlCwlx4、转角方程，弯矩方程)23(6)(2'32322lxlxEIFwxlEIFw5、最大转角和最大挠度（向下）（逆时针）EIFlwEIFlwAA32'32xMwEI积分法求解梁位移的思路：①建立合适的坐标系；②求弯矩方程M(x)；③建立近似微分方程：⑤用约束条件或连续条件，确定积分常数；⑥一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接判别。根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。wEI;EIw④积分求和例5-2图示简支梁受分布力作用，确定其挠度、转角方程及最大挠度和转角，EI为常数。解：1、弯矩方程为：222)(xqxqlxM代入微分方程并积分得DCxlxqxxEIwClxqxxEI)2(24)()32(6)(32y222xqxqlEIw代入边界条件：w(0)=0,w(l)=0D=0243qlC所以)2(24)()46(24)(323323xlxlEIqxxwxlxlEIqxEIqlwEIqlBA3845,244max3maxFxxMax0FxxMwEI112121CFxwEI113161DxCFxEIw例5-3由积分法求图示梁的wA、A。解：1)坐标系如图；AC段：则近似微分方程为：积分可得：xyxxFaaaFEICAB2)分两段进行分析：FaFxxMaxa2BC段：FaFxwEI222221CFaxFxwEI222322161DxCFaxFxEIw积分可得：则近似微分方程为：利用约束和连续条件确定C1、D1、C2、D2四个常数：ax2时，约束条件：022ww连续条件：ax处，22122121FaFaCFa2121；由此可得：33311332216161FaFaFaDaCFa即：；21FaC3167FaD02C由此可得：3232FaDEIFaDwwxA673101EIFaCwxA2101'最后可得：（向下）（逆时针）(2)由约束和连续条件求积分常数；(1)两段：四个常数，每增加一段，就增加两个积分常数；小结：(3)坐标原点一律放在左边，分段写出M(x)；(4)注意x的范围。例5-4求图示弯曲刚度为EI的简支梁的挠曲线和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。xlbFxMwEI1解：坐标系如图，求出反力。AD段：ax0则：xlbFxMBAxyFDablxFBFA分AD、DB两段分析：1212CxlbFwEI积分可得：DB段：则：11316DxCxlbFEIwlxaaxFxlbFxMaxFxlbFxMwEI2BAxyFDablx直接以(x-a)作为自变量进行积分，可得：222222CaxFxlbFwEI2233266DxCaxFxlbFEIw确定C1、C2、D1、D2四个常数：21DD则：21CCax2121；处，（1）连续条件：210DD由此可得：lx02wb)处，12226CbllFbC由此可得：（2）约束条件：0x时，01wa)22211312xbllEIFbw则梁的挠曲线和转角方程为：AD段：22216xbllEIFbxwDB段：222222312xblaxbllEIFbw322326xxblaxbllEIFbw由此可得梁左右两支座截面的转角分别为：lEIblFabA6lEIalFabB6梁的变形曲线以及相关的量见下图。对AD段，由w'1=0可得极值点位置为：当ab时，右支座截面的转角绝对值最大，为：lEIalFabB6max323221baablxBACxywCAFwmaxBDl/2ⅡⅠx1ab当ab时，可见x1将小于a，则最大挠度在AD段，为：3221max391bllEIFbwwxx当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：EIFblEIFblw22max0642.039而此时梁中点C截面处的挠度为：EIFblEIFblwC220625.016两者相差也不超过中点挠度的3%。因此，在简支梁中，只要挠曲线无拐点，即可有中点挠度来代替最大挠度。当载荷作用在梁的中点，即a=b=l/2时，其最大转角和挠度为：EIFl162maxEIFlwwC483max总结：遵循了两个规则，即1）对各段都参照同一坐标原点建立弯矩方程；2）以(x-a)为自变量对(x-a)项进行积分，则由x=a处的连续条件可得两段梁对应的积分常数分别相等的结果。练习题：由积分法求图示梁的wA、A。MABl