《-圆的极坐标方程》

1.3.1圆的极坐标方程本文在学习极坐标的基础上来进一步学习简单曲线的极坐标方程，具体为教材：P12---P13。先学习体会极坐标方程的定义（任意一点）；不同圆心的圆的极坐标方程的求法和方程的表示；感受课本的递进研究方法。最后巩固并复习在平面直角坐标系中圆的方程的求法。本节课的关键在于让学生体会到极坐标方程是涉及长度与角度的问题，列方程实质是解直角或斜三角形问题，要使用旧的三角知识。1.会求圆心不同的圆的极坐标方程。2.体会圆的极坐标方程的推出过程。3.类比直角坐标系中求圆心不同的圆的方程，感受极坐标系中求曲线方程的方法。1.在平面直角坐标系中,曲线C和方程f(x,y)=0满足(1)曲线C上点的坐标都是方程的解(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C是方程f(x,y)=0的曲线。3.圆的一般式方程：x2+y2+Dx+Ey+F=022(DE4F0)2.圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r24.极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y)，极坐标是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ222,tan(0)xyyxx5、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中：R为△ABC的外接圆半径）2222cosabcbcA6.余弦定理：222cos2bcaAbc如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0)(a0)你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(ρ,θ)满足的条件吗？xC(a,0)OA2,(,)cos2cos...........(1)(0,),(2,0)(1)2OAOAaMOAOMAMRtAMOOMOAMOAaOAa圆经过极点。设圆与极轴的另一个交点是，那么＝设为圆上除点，以外的任意一点，那么。在中即＝可以验证，点的坐标满足等式解：的点都在这个圆上。等式，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面坐标就是圆上任意一点的极所以，等式)1(),()1(的极坐标方程。叫做曲线那么方程上，的点都在曲线并且坐标适合方程一个满足方程一点的极坐标中至少有上任意，如果平面曲线一般地，在极坐标系中CfCffC0),(0),(0),(的圆的极坐标方程。为半径就是圆心在所以，aaaCa),0)(0,(cos2极坐标方程：一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系（１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f(,)=0;（２）方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。则称曲线Ｃ的方程是f(,)=0。二、求曲线的极坐标方程到底是求什么？与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列出方程f(,)=0，再化简并说明。1.建极坐标系，设动点M(,)；2.找曲线上任一点满足的几何条件；3.把上面的几何条件转化为与关系4.化简，说明三.求曲线极坐标方程步骤：5.极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化某些时候，用极坐标方程解决比较方便，这是一个重要的解题技巧.在极坐标系中，当研究的问题用极坐标方程难以决时，可转化为直角坐标方程求解.例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？xOrM简单。上比式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重＝即为圆上任意一点，则设都等于半径何特征就是它们的极径几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心)1(,),(.rrOMMrOOOxMθrρρ=rOxMθaρ·ρ=2asinθOAMC（a,0）ρ=2acosθρ＝r四.圆的极坐标方程(1)圆心在C(a,0)(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程为.(2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为.(3)圆心在点(a，π2)处且过极点的圆的方程为．ρ＝2asinθ(0≤θ≤π)ρ＝2acosθ例2.求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．[解]在圆周上任取一点P(如图)设其极坐标为(ρ，θ)．由余弦定理知：CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，故其极坐标方程为r2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．[思路点拨]结合圆的定义求其极坐标方程．OxMθaρ·OxMθaρ·ρ=2asin()=-2asinρ=2acos()=-2acos五.几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cosθ，若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cosθ＝2rcosθ，若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（）.2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC2.求下列圆的极坐标方程(１)中心在极点，半径为2；(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；(３)中心在(a,/2)，半径为a；(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。＝2＝2acos＝2asin2+02-20cos(-０)=r2已知一个圆的方程是ρ＝53cosθ-5sinθ求圆心坐例3.标和半径。2222253cos5sin53cos5sin535535()()2522535(,),522xyxyxy＝两边同乘以得＝－即化为直角坐标为　即所以圆心为解半径是：3110(cossin)10cos(),226(5,),5,6解：原式可化为＝所以圆心为半径为Oaaaa此圆过极点＝圆的极坐标方程为半径为圆心为)cos(2)0)(,(你可以用极坐标方程直接来求吗？已知一个圆的方程是ρ＝53cosθ-5sinθ求圆心坐例3.标和半径。方程是什么？化为直角坐标＝、曲线的极坐标方程sin414)2(22yx圆的圆心距是多少？的两个＝和＝、极坐标方程分别是sincos21cos(,0)2sincos()cos()2212sin(,),222解：圆＝圆心的坐标是圆圆＝的圆心坐标是所以圆心距是3cos()4、极坐标方程所表示的曲线是()A、双曲线B、椭圆C、抛物线D、圆D为半径的圆。为圆心，以＝解：该方程可以化为21)4,21()4cos(法一：41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即＝解：法二：410cos()3、圆＝的圆心坐标是())0,5(、A)3,5(、B)3,5(、C)32,5(、DC5(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin,24sin,4(2)4.xyyxy解：＝化为直角坐标系为＝即　　2126:2cos,:23sin20,CC、已知圆圆试判断两圆的位置关系。所以两圆相外切。半径为，圆心半径为圆心坐标方程为解：将两圆都化为直角21)3,0(1)3(:1)0,1(,1)1(:2122221221OOOyxCOyxC78cosOCONON、从极点作圆：＝的弦，求的中点的轨迹方程。ONMC(4,0)(4,0),4,,4cos.CrOCCMMONCMONM如图，圆的圆心半径连结，是弦的中点,所以，动点的轨迹方程是＝解：4.圆的极坐标方程有多种形式，极坐标方程可认为是圆的一般式方程.2222cos()aar1.曲线的极坐标方程概念2.怎样求曲线的极坐标方程3.圆的极坐标方程把下列极坐标方程化为直角坐标方程．(1)ρ2cos2θ＝1；(2)ρ＝2cos(θ－π4)．解：(1)因为ρ2cos2θ＝1，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1.所以化为直角坐标方程为x2－y2＝1.(2)因为ρ＝2cosθcosπ4＋2sinθsinπ4＝2cosθ＋2sinθ，所以ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ.所以化为直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.敬请指导