第5章 回溯法

1第5章回溯法回溯法有“通用的解题法”之称。用它可以系统地搜索一个问题的所有解或任一解。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。它在包含问题的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否包含问题的解。如果不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索，回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都被搜索遍才结束，回溯法在求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。2问题的解空间•问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。•显约束：对分量xi的取值限定。•隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。•解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间3生成问题状态的基本方法•扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点•活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点•死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点•深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）•宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点•回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(boundingfunction)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法4例如，对于n=3时的0-1背包问题，考虑下面的具体实例：M＝[16，15，15]，P＝[45，25．25]，C＝30开始时根结点是惟一的活结点，也是当前的扩展结点。在这个扩展结点处，沿纵深方向移至结点B或结点C。假设我们选择先移至结点B。此时，结点A和结点B是活结点，结点B成为当前扩展结点。由于选取了w1，故在结点B处剩余背包容量足r＝14，获取的价值为45。从结点B处，可以移至结点D或E。由于移至结点D至少需要W2＝15的背包容量，而背包容量是r=14，故移至结点D导致不可行解。而搜索至结点E不需要背包容量，因而是可行的。从而我们选择移至结点E。此时，E成为新的扩展结点，结点A、B、E是活结点。在结点E处，r＝14，获取的价值为45。从结点E处，可以向纵深移至结点J或K。移至结点J导致不可行解，而移向结点要是可行的，于是移向结点K，它成为一个新的扩展结点。由于结点K是一个叶结点，故我们得到一个可行解。这个解相应的价值为45，xi的取值由根结点到叶结点K的路径所惟一确定，即x＝(1，0，0)。由于在结点是处已不能再向纵深扩展．所以结点K成为死结点。我们返回到结点E处。此时在结点E处也没有可扩展的结点，它也成为死结点。接下来我们又返回到结点B处，结点B同样也成为死结点，从而结点A再次成为当前扩展结点。5结点A还可继续扩展，从而到达结点C。此时，r＝30，获取的价值为0。从结点C我们可移向结点F或G。假设我们移至结点F，它成为新的扩展结点，结点A，C和F是活结点，在结点F处，r＝15，获取的价值为25。从结F，我们向纵深移至结点L，此时，r=0，获取的价值为50。出于L是一个叶r结点，而且是迄今为止找到的获取价位最高的可行解，因此记录这个可行解。结点L不可扩展，我们又返回到结点F处。按此方式继续搜索，可控索遍整个解空间。搜索结束后找到的最好解是相应0-1背包问题的最优解。我们再看一个用回溯法解旅行售货员问题的例子。旅行售货员问题：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程(或费用)。他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一次，最后回到驻地的路线，使总的路程(或费用)最小。6对于上图，从解空间树的根结点A出发，搜索至B，C，F，L。在叶结点L处记录找到的周游路线1，2，3，4．1。该周游路线的费用为59。从叶结点L返回至最近活结点F处，F己没有可扩展结点，算法又返回到结点C处，结点C成为新扩展结点，由新扩展结点，算法再移至结点G后又移至结点M．得到周游路线1，2，4，3，1，其费用为66。这个费用不比已有周游路线1，2，3，4，1的费用小，由此，舍弃该结点，算法又依次返回至结点G，C，B。从结点B，算法继续搜索至结点D，H，N，在叶结点N处，相应的周游路线1，3．2，4，1的费用为25。它成为迄今为止找到的最好的一条周游路线。从结点N算法返回至结点H，D。然后再从结点D开始继续向纵深搜索至结点O。依此方式算法继续搜索遍整个解空间，最终得到l，3，2，4，1是一条最小费用周游路线。7•(1)针对所给问题，定义问题的解空间；•(2)确定易于搜索的解空间结构；•(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。常用剪枝函数：用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；用限界函数剪去得不到最优解的子树。用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。而显式地存储整个解空间则需要O(2h(n))或O(h(n)!)内存空间。8递归回溯回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法。voidbacktrack(intt)//t是递归深度{if(tn)output(x);//n是树深，当tn表示搜索到叶结点，由output输出可行解elsefor(inti=f(n,t);i=g(n,t);i++)//f(n,t)、g(n,t)分别是当前扩展结点处未搜索过的子树的起始编号和终止编号。{x[t]=h(i);//h(i)是当前扩展结点处x[1:t]的第i个可选值。if(constraint(t)&&bound(t))backtrack(t+1);}//constraint(t)为true时满足约束条件。bound(t)为true则表示x[1:t]处未使目标函数越界，由backtrack(t+1)对相应子树进一步搜索；否则,i改变，当前子树不搜索(剪枝），搜索下一个子树}9迭代回溯采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个非递归迭代过程。voiditerativeBacktrack(){intt=1;while(t0){if(f(n,t)=g(n,t))for(inti=f(n,t);i=g(n,t);i++){x[t]=h(i);if(constraint(t)&&bound(t)){if(solution(t))output(x);//solution(t)判断在当前扩展结点是否得到问题的可行解elset++;}}elset--;}}10子集树与排列树遍历子集树需O(2n)计算时间遍历排列树需要O(n!)计算时间voidbacktrack(intt){if(tn)output(x);elsefor(inti=0;i=1;i++){x[t]=i;if(legal(t))backtrack(t+1);}}voidbacktrack(intt){if(tn)output(x);elsefor(inti=t;i=n;i++){swap(x[t],x[i]);if(legal(t))backtrack(t+1);swap(x[t],x[i]);}}11装载问题有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱i的重量为wi，且211ccwnii装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。容易证明，如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可得到最优装载方案。(1)首先将第一艘轮船尽可能装满；(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集，使该子集中集装箱重量之和最接近。由此可知，装载问题等价于以下特殊的0-1背包问题。nixcxwxwiniiiniii1},1,0{s.t.max111用回溯法设计解装载问题的O(2n)计算时间算法。在某些情况下该算法优于动态规划算法。12装载问题•解空间：子集树•可行性约束函数(选择当前元素)：•上界函数(不选择当前元素)：当前载重量cw+剩余集装箱的重量r当前最优载重量bestw11cxwniiiprivatestaticvoidbacktrack(inti){//搜索第i层结点if(in)//到达叶结点更新最优解bestx,bestw;return;r-=w[i];if(cw+w[i]=c){//搜索左子树x[i]=1;cw+=w[i];backtrack(i+1);cw-=w[i];}if(cw+rbestw){x[i]=0;//搜索右子树backtrack(i+1);}r+=w[i];}13批处理作业调度给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。jittji机器1机器2作业121作业231作业323这3个作业的6种可能的调度方案是1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1；它们所相应的完成时间和分别是19，18，20，21，19，19。易见，最佳调度方案是1,3,2，其完成时间和为18。14批处理作业调度•解空间：排列树privatestaticvoidbacktrack(inti){if(in){for(intj=1;j=n;j++)bestx[j]=x[j];bestf=f;}elsefor(intj=i;j=n;j++){f1+=m[x[j]][1];f2[i]=((f2[i-1]f1)?f2[i-1]:f1)+m[x[j]][2];f+=f2[i];if(fbestf){MyMath.swap(x,i,j);backtrack(i+1);MyMath.swap(x,i,j);}f1-=m[x[j]][1];f-=f2[i];}}publicclassFlowShopstaticintn,//作业数f1,//机器1完成处理时间f,//完成时间和bestf;//当前最优值staticint[][]m;//各作业所需的处理时间staticint[]x;//当前作业调度staticint[]bestx;//当前最优作业调度staticint[]f2;//机器2完成处理时间15符号三角形问题++-+-+++----+-+++--++--+---+下图是由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形。2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-”。在一般情况下，符号三角形的第一行有n个符号。符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。16符号三角形问题•解向量：用n元组x[1:n]表示符号三角形的第一行。•可行性约束函数：当前符号三角形所包含的“+”个数与“-”个数均不超过n*(n+1)/4•无解的判断：n*(n+1)/2为奇数privatestaticvoidbacktrack(intt){if((counthalf)||(t*(t-1)/2-c