互斥事件和对立事件

互斥事件古典概型概率公式1、试验的所有结果只有有限个且每次只有一个结果，2、每一个试验结果出现的可能性相同.古典概型两个特征：一般来说,在建立概率模型时，我们把什么看作是一个基本事件是人为规定的,也就是说,对于同一个随机试验,可以根据需要,建立满足我们要求的概率模型.概率模型()()()事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数mPAn问题：一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球．从中任取1个小球.求:(1)得到红球的概率;(2)得到绿球的概率;(3)得到红球或绿球的概率.71021=105109“得到红球”和“得到绿球”这两个事件可以同时发生吗?事件得到“红球或绿球”与上两个事件它们的概率间的关系如何?在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球．我们把“从中摸出1个球，得到红球”叫做事件A，“从中摸出1个球，得到绿球”叫做事件B，“从中摸出1个球，得到黄球”叫做事件C．如果从盒中摸出的1个球是红球，即事件A发生，那么事件B就不发生；如果从盒中摸出的1个球是绿球，即事件B发生，那么事件A就不发生．就是说，事件A与B不可能同时发生．1.互斥事件定义在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.如：对于上面的事件A、B、C，其中任何两个都是互斥事件，这时我们说事件A、B、C彼此互斥．一般地，若事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1，A2，…，An彼此互斥．易知，事件B与C、事件A与C也是互斥事件．在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球．我们把“从中摸出1个球，得到红球”叫做事件A，“从中摸出1个球，得到绿球”叫做事件B，“从中摸出1个球，得到黄球”叫做事件C．从字面上如何理解“互斥事件”互：相互；斥：排斥互斥事件：一次试验下不能同时发生的两个或多个事件.若A,B互斥,则A,B不能同时发生相互排斥，即不能同时出现你还能举出一些生活中的其他例子吗？抛硬币，“正面朝上”和“反面朝上”抽奖时，“中奖”和“不中奖”.互斥事件不可能同时发生,但可以同时不发生,也可以一个发生一个不发生.ABABA、B互斥A、B不互斥从集合意义理解，A与B交集为空集A与B交集不为空集从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交，如图所示．红绿绿红红红红红红C黄AB例3在例1中,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,下面的事件A和B是否是互斥事件?(1)事件A=“总质量为20kg”,事件B=“总质量为30kg”；(2)事件A=“总质量为7.5kg”,事件B=“总质量超过10kg”；(3)事件A=“总质量不超过10kg”,事件B=“总质量超过10kg”；(4)事件A=“总质量为20kg”,事件B=“总质量超过10kg”.解:在(1)(2)(3)中,事件A与事件B不可能同时发生,因此，事件A与事件B是互斥事件.对于(4)中的事件A和事件B,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,当总质量为20kg时,事件A与事件B同时发生,因此,事件A与事件B不是互斥事件.给定事件A,B,我们规定A+B为一个事件,事件A+B发生是指事件A和B至少有一个发生例如:在例3(1)中,事件A=总质量为20kg,B表示事件总质量为30kg,我们把事件总质量为20kg或30kg记作A+B.2.事件A+B(和事件)的意义(1)与集合类比,事件A+B可用集合A与B的并集来表示，如下图.(2)事件A+B与事件B+A是同一事件.即A+B=B+A.(3)A+B有三层意思:事件A发生,事件B不发生;事件A不发生,事件B发生;事件A发生,事件B同时发生.AB用集合解释当A与B互斥时,A+B事件指“A发生B不发生”和“A不发生B发生”；(1)对于例3的(2)和(3)中的事件A和事件B,A+B表示什么事件?(2)对例3的(1),(2)和(3)中的每一对事件,通过计算完成表3-10:表3-10(1)(2)(3)P(A)P(B)P(A)+P(B)P(A+B)根据表3-10中的结果,你发现P(A+B)与P(A)+P(B)有什么样的大小关系?40302522.52030201512.5102515107.5522.512.57.552.5201052.5第二个质量总质量第一个质量表3-10(1)(2)(3)P(A)P(B)P(A)+P(B)P(A+B)1/161/83/163/161/83/47/87/81/43/411(4)1/163/413/163/4说明:(1)上面的公式叫互斥事件的概率加法公式;(2)加法公式的前提条件是:事件A与B互斥.如果没有这一条件,加法公式将不能应用.一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此两两互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P（A1＋A2＋…＋An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)在一个随机实验中,如果随机事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率等于事件A、B分别发生的概率之和.即P(A+B)=P(A)+P(B)例4从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件A=“抽到的是一等品”,事件B=“抽到的是二等品”,事件C=“抽到的是三等品”,且已知P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05.(1)事件D=“抽到的是一等品或三等品”;（2）事件E=“抽到的是二等品或三等品”.求下列事件的概率:解(1)事件D即事件A+C,因为事件A=“抽到的是一等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式得,P(D)=P(A+C)=P(A)+P(C)=0.7+0.05=0.75.（2）事件E即事件B+C，因为事件B=“抽到的是二等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，P（E）=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15.事件D+E表示的是什么?它的概率P(D+E)等于P(D)+P(E)吗?容易看出,事件D+E表示“抽到的是一等品或二等品或三等品”.事件D和事件E不是互斥事件,因此不满足互斥事件的概率加法公式.事实上,P(D+E)=P(A)+P(B)+P(C)=0.85,而P(D)+P(E)=[P(A)+P(C)]+[P(B)+P(C)]=0.9,“抽到的是三等品”的概率P(C)在P(D)和P(E)中各算了一次,因此,事件D+E的概率P(D+E)不等于P(D)+P(E).例5:某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整,为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查,他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项.调查结果如表3-11所示:表3-11男女总计赞成18927反对122537不发表看法201636总计5050100随机选取一个被调查者,他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少?解:用A表示事件“对这次调整表示反对”,B表示事件“对这次调整不发表看法”,则A和B是互斥事件,并且A+B就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”,由互斥事件的概率加法公式,因此,随机选取的一个被调查者对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.373673()()()0.73.100100100PABPAPBP(A)=1–P(A)一次实验中，必有一个发生的两个互斥事件，称为对立事件.(3)对立事件是针对两个事件来说的,一般地,两个事件对立,则两个事件必互斥.反之,两个事件互斥,则未必是对立事件.(4)对立事件的概率公式:(1)对立事件也称逆事件，A的对立事件记作A.(2)其含义是:在一次实验中,事件A与A只发生其中之一,并且必然发生其中之一.3.对立事件的概念从集合的角度看，由事件所含的结果组成的集合，是全集U中的事件A所含的结果组成的集合的补集。AI红红红红红红红A绿绿C黄B红红红红红红红A绿绿C黄BAAAAAAA互斥事件：不可能同时发生的两个事件对立事件：必有一个发生的互斥事件互斥事件与对立事件的区别与联系:CABDE…….AB互斥事件对立事件联系:对立事件必是互斥事件；但两个互斥事件不一定是对立事件；两个对立的或互斥的事件不能同时发生。区别：对立事件有且只有一个发生；互斥事件可能两个都不发生，至多有一个发生。例6某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组,具体情况如图所示.随机选取1个成员:(1)他至少参加2个小组的概率是多少?(2)他参加不超过2个小组的概率是多少?数学10英语6音乐8711108解:(1)从图可以看出,3个课外兴趣小组总人数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个”因此,随机选取的1个成员至少参加2个小组的概率是0.6.6810()1()10.6.60PAPA则就表示“选取的成员至少参加2个小组”,于是,A（2）用B表示事件“选取的成员参加3个小组”，则B就表示“选取的成员参加不超过2个小组”，于是，所以，随机选取的１个成员参加不超过２个小组的概率约等于０．８７813()1()10.87.6015BB=PPP(A1+A2+•••+An)=P(A1)+P(A2)+•••+P(An)2.一般地,如果随机事件A1,A2,•••,An中任意两个是互斥事件,那么有1.事件A1,A2,•••,An中至少有一个发生表示事件A1+A2+•••+An发生.知识扩展三、数学应用例1.(互斥事件、对立事件的辨识)(1)一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只黑球，从中任意摸出2只球。记摸出2只白球的事件为A，摸出1只白球和1只黑球的事件为B.问：事件A与事件B是否为互斥事件？是否为对立事件？(2)判断下列各对事件是否是互斥事件,说明理由某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中①恰有1名男生和恰有2名男生;②至少有1名男生和至少有1名女生.(3)从装有5个红球和3个白球的口袋中任取3个球,那么,互斥而不对立的事件是()A.至少有1个红球;都是红球B.至少有1个红球;都是白球C.至少有1个红球;至少有1个白球D.恰有2个红球;恰有1个红球D(4)某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”。判断下列每对事件是否为互斥事件，如是，再判断是不是对立事件？①A与C②B与E③B与D④B与C⑤C与EB2.若A与B是互斥事件,则P(A)+P(B)_____1;若事件A,B满足P(A+B)=P(A)+P(B)=1,则A与B是一对_________对立事件若P(A+B)=P(A)+P(B),则A与B是互斥事件若A与B不互斥,则P(A+B)=?请课后阅读相关资料1.如果A,B是互斥事件,那么（）A.A和B必不互斥B.A+B是必然事件C.A和B可能互斥D.A+B是必然事件3.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A1,A2,A3,A4发生的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.4,则下列说法正确的是()A.A1+A2与A3是互斥事件,也是对立事件B.A2+A3与A4是互斥事件,也是对立事件C.A1+A2与A3+A4是互斥事件,但不是对立事件D.A1+A2+A3与A4是对立事件D练习:1.甲、乙两人下棋，和棋的概率为1/2,乙获胜的概率为1/3，求(1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率.2.在10000张有奖储蓄的奖券中,设有1个一等奖,5个二等奖,10个三等奖,丛中购买一张奖券,求:(1)分别获得一等奖，二等奖，三等奖的概率;(2)中奖的概率.*4.有面值为1元、2元、5元的邮票各2枚,从中任取3张,其面值之和为8元的概率是多少?8/20=2/5223.,8mnPPxy若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点坐标，则点在外的概率是多少？1-4/36=8/9P(A+B)=P(A)+P(B)事