第二章 流体力学的基本方程22

1流体静力学的主要内容：静止流场的性质重力作用下不可压缩流体的静压强绝对压强、相对压强和真空度位置水头、压强水头、测压管水头不可压缩流体相对平衡的静压强静止液体作用在物体表面上的总压力2（一）静止流场的性质1、外力限制条件zfxfyfzfxfyfxzzyyx只有当外质量力满足一定条件时，流体才能静止，此条件称为外力限制条件。假设流体是不可压缩的，将欧拉平衡微分方程对坐标系交替求导，可得：010101zpfypfxpfzyx对坐标系交替求导3zUfyUfxUfzyx由矢量分析可知，满足上述条件的质量力场为一无旋流场，从而质量力应是某一标量函数的梯度。假设用U(x,y,z)表示这一函数，则有：Uf即标量函数U(x,y,z)称为质量力的势函数。结论：不可压缩流体静止的必要条件是质量力有势。实际上大多数质量力是有势的。42、等压面及其特点,,constzyxp0dpdpzzpyypxxpzfyfxfzyx1ddd1ddd压强相等的各点所组成的面（平面或曲面）称为等压面。等压面的数学表达式为：或用dx,dy,dz分别乘以欧拉平衡微分方程中的三式再相加得：0:dzfdyfdxfzyx等压面微分方程为0:ldf写成矢量式5从等压面微分方程出发，可以得到等压面的几个重要性质：①等压面与质量力等势面重合沿等压面，下式成立：0dddzzUyyUxxUconstU0dzddzyxfyfxf引入质量力势函数U，则有：即dU=0上式表明在等压面上，质量力势函数值不变，等压面与等势面互相重合。6②等压面与质量力相垂直0Ldf等压面与质量力相垂直根据这一特性，我们可以由已知质量力的方向去确定等压面的形状，或者已知等压面的形状，去确定质量力的方向。沿等压面，下式成立：0dzddzyxfyfxf7UzfyfxfpUzfyfxfpzyxzyxdddddddddd2211UUdd21210dU③两种不相混合的静止流体的分界面必为等压面图中S为两种液体的分界面，在界面上取相邻两点A和B，两点压差为dp，势函数差值为dU，两点间压差公式为：AS12B由此可知，S面为等势面，从而也是等压面。8（二）重力作用下不可压缩流体的静压强（液体的绝对静止）代入质量力微分方程：、、将gfffzyx00d1dpzggp1gp21ZZ2Z0Z0pOx12z相对于地球的静止就是绝对静止。重力作为一种外质量力，这种静止亦称为重力液体的静止。constgpz若流体为不可压缩均质流体，上式积分得：（2-59）9对于静止流体中任意两点，有：2211gpzgpz00zgpzgp淹没深度—即hghppghpzzgpp:0000单位重液体的位置势能单位重液体的压强势能为便于应用，将式（2-59）改写，由液面上一点和淹没深度为h的一点列式（2-59）得：（2-62）10式（2-62）为不可压缩流体绝对平衡的静压强计算公式。该式只适用于连通、均质、绝对静止的液体。此式表明：重力液体内一点的静压强由两部分组成，一部分是表面压强P0，另一部分是底面积为一个单位面的液柱的重量。由于P0一般不变，因此静压强P是淹没深度h的线性函数。由式（2-62）可导出绝对静止液体等压面方程：h=const此式表明绝对静止液体中之等压面为一簇水平面，特别当h=0时为液体自由界面，这时P=P0，也是一个等压面。等压面性质：在同一种连通的静止液体中，每个水平面都是等压面。0ghpp（2-62）11流体静压强基本方程式表明：（1）重力作用下的静止液体中，任一点的静压强可以由自由表面上的压强通过静力学基本方程式得到，用它可以求静止液体中任一点的静压强值。（2）静止液体自由表面上的表面压强均匀传递到液体内各点（这就是著名的帕斯卡定律，如水压机、油压千斤顶等机械就是应用这个定律制成的）。12（3）静压强分布规律可以用静压强分布图表示。液体内的静压强值随深度按直线变化。淹没深度越大的点，其静压强值越大。（4）静止液体内不同位置处的流体静压强数值不同，但其数值之间存在一定的关系。（实验1静水压强量测实验）gpzgpz221113流体静压强基本方程式的意义1、物理意义：由公式gpzgpz2211代表单位重力流体的位置势能，代表单位重力流体的压强势能，在平衡流体内部，位置势能和压强势能可以相互转化，但是总能量保持恒定。流体静压强基本方程式的意义就是平衡流体中的总能量是一定的。这也是能量守衡与转化定律在平衡流体中的体现。zgp142、几何意义：称为位置水头，被称为压强水头。（位置势能）（压强势能）它们都代表一定的液柱高度。zgp流体静压强基本方程式说明静止液体中各点的位置势能与压强势能之间可以互相转换，但各点的总势能是一定的，永远相等。即各点的总势能在同一个水平面上。15一、静压强的计算标准真空度:当压强比当地大气压低时，流体压强与当地大气压的差值称为真空度。以当地大气压为计算标准表示的压强。计示压强(表压强、相对压强)：ghp绝对压强：ghppa以绝对真空为起点表示的压强。（三）绝对压强、相对压强和真空度工程上常常处理自由界面上是大气压的问题，这时P0=Pa，压强计算公式为：以此为基础，介绍几种压强表示方法：16p绝对真空p=0绝对压强当地大气压pa表压强真空度ppappa绝对压强=相对压强+当地大气压相对压强=绝对压力-当地大气压Pm=P-Pa当ppa时绝对压强=当地大气压-真空度真空度=当地大气压-绝对压强Pv=Pa-P当ppa时17二、静压强的计量单位1、应力单位Pa（N/m2）、bar。1bar=105Pa2、液柱高单位测压计常以水或水银作为工作介质，压强常以水柱高度（mH2O），或毫米汞柱（mmHg）表示。3、大气压单位以1标准大气压（1atm）为单位表示。1标准大气压=1.013*105Pa=10.33mH2O=760mmHg18三、静压强的测量主要测量仪表：金属式、电测式和液柱式。1、测压管2、U型测压计3、差压计4、微压计19（四）位置水头、压强水头、测压管水头•在静水压强分布公式中，各项都为长度量纲，称为水头（液柱高）。Cpz——位置水头，以任取水平面为基准面z=0，铅垂向上为正。——压强水头，以大气压为基准，用相对压强代入计算。zp——测压管水头。pz20在内有液体的容器壁选定测点，垂直于壁面打孔，接出一端开口与大气相通的玻璃管，即为测压管。测压管内的静止液面上p=0，其液面高程即为测点处的，所以叫测压管水头。pz•测压管水头的含义/ApAz/BpBzOO21如果容器内的液体是静止的，一根测压管测得的测压管水头也就是容器内液体中任何一点的测压管水头。如接上多根测压管，则各测压管中的液面都将位于同一水平面上。•测静压只须一根测压管/ApAz/BpBzOO22•敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图23例题：apapd1h12d2hh?,3.0,/11760,/7840,,21323121hhmhmNmN和求高度高差液面若的两种液体和盛了重度分别为器内在大气中之敞口连通容24解：d-d为包含液体分界面在内的水平面，由于d-d面为等压面，故有：2211hphpaa2211hhhhh212221)(hhhmhhhmhh9.03.06.06.07840117603.07840211212apapd1h12d2hh25例题：如图所示，h1=1.2m,h2=1m,h3=0.8m,h4=1m,h5=1.5m，大气压Pa=101300N/m2,不计装置内空气重，求：1、2、3、4、5和6各点的绝对压强及M1、M3和M6三个压力表的表压强（或真空度）。33/9.7749,/9810mNmN酒精水65h4h3h2h1h6M3M1Map水酒精空气空气26解：根据已知条件，对1、2两点：)()()(2121212112hhphhpphhppa水水水2/99338)12.1(9810101300mN)(/196299338101300211真空度从而mNpppaM22/101300mNppa23423323223/103262)(/1962101300103262/103262)8.01(9810101300)(mNppmNpppmNhhppaM表压强水对2、3两点：65h4h3h2h1h6M3M1Map水酒精空气空气27对4、5两点：24545/99387)15.1(9.7749103262)(mNhhpp酒精对4、6两点：2446/11101219.7749103262mNhpp酒精)(/9712101300111012266表压强mNpppaM65h4h3h2h1h6M3M1Map水酒精空气空气28（五）不可压缩流体的相对平衡的静压强一.非惯性系中静止液体的平衡方程惯性系中静止液体的平衡方程非惯性系中静止液体的平衡方程01pfafp101paf这样非惯性系中平衡方程在处理上就和惯性系没有区别了。替代faf用表面力中仍无切应力29工程上常遇到相对静止问题，这时质量力除重力外，还有其它力。流体相对平衡常见于容器作等加速直线运动和绕垂直轴的旋转运动。本节讨论等角速度旋转容器中液体相对静止时的压强分布规律。二、静压强分布规律gfyrfxrfzyx2222sincosMAMRZxyohzo0zrx2r2y2作用在液体上的质量力有重力和离心惯性力：将此式代入：dpdzfdyfdxfzyx1（2-64）30cgzrcgzyxpgdzydyxdxp222:d22222222积分后得则得：低点处时即旋转液体自由表面最，令,,,000ppzrzgrgpp2220则有：等角速度旋转容器内液体相对平衡的静压分布规律（2-65）表明静压强P与表面压强P0、水深、旋转角速度和半径r有关，且压强P随旋转半径r2的增大而增大，随所在的铅垂坐标Z的增大而减小，在Z坐标相同的点上，离旋转中心越远处，其压强越高，这完全是惯性力作用的结果。31cgzrgdzydyxdx2:02222积分后得:,,0000得自由表面方程为坐标的记为自由表面上用，时在自由表面上，Zzczrgrzgzroo2022222或三、等压面将式（2-64）代入等压面微分方程，得：（2-66）表明等压面为一族绕Z轴的旋转抛物面MAMRZxyohzo0zrx2r2y232将（2-66）代入（2-65），则静压分布又可表示为：ghpzzgppooo式中：h----自由液面算起的淹没深度。这与绝对静止液体中压强分布公式的形式完全一样。MAMRZxyohzo0zrx2r2y233（六）静止液体作用在物体表面上的总压力工程中常碰到要求计算静止液体对接触固体壁面的作用，即计算液体对接触固体壁面的总压力以及作用点的问题。本节讨论以下两个问题：绝对静止液体作用在平面壁上的总压力绝对静止液体作用在曲面壁上的总压力34•在已知静止液体中的压强分布之后，通过求解物体表面A上的矢量积分AApdnP即可得到总压力，实际上这是一个数学问题。AAdpn•完整的总压力求解包括其大小、方向、作用