弹塑性力学作业答案2006秋

弹塑性力学作业1．分别就以下F情形，写出所有基本变量，基本方程及边界条件（分量形式、指标形式），并指明分量形式的变量和方程与指标形式的对应关系。解：（1）1D情形：分量形式：基本变量：位移分量：()xux应变分量：()xxε应力分量：()xxσ基本方程：①平衡方程：0xxdbdxσ+=②几何方程：xxdudxε=③物理方程：xxEσε=④边界方程（BC）：位移边界条件BC（u）：xxuuonSu=力边界条件BC(p)：xxponSpσ=指标形式：基本变量：位移：ixuu对应应变：ixεε对应应力：ixσσ对应基本方程：①平衡方程：0iidbdiσ+=②几何方程：iidudiε=③物理方程：iiEσε=④边界方程：iiuuonSu=iiponSpσ=（其中，i对应x）（2）2D情形：分量形式：基本变量：位移分量：,uv应变分量：,,xxyyxyεεγ应力分量：,,xxyyxyσστ基本方程：①平衡方程：00xyxxxyyxyybxybyxτσστ∂⎫∂++=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭②几何方程：xxyyxyuxvyuvyxεεγ⎫∂=⎪∂⎪⎪∂=⎬∂⎪⎪∂∂=+⎪∂∂⎭③物理方程：()()111xxxxyyyyyyxxxyxyEEGεσμσεσμσγτΔ⎫=−⎪⎪⎪=−⎬⎪⎪=⎪⎭④边界方程（BC）：位移边界条件BC（u）：uuonSuvv⎫=⎪⎬=⎪⎭力边界条件BC(p)：xxxxyyxyyyxyxynnponSpnnpστστ⎫+=⎪⎬+=⎪⎭（3）3D情形分量形式：基本变量：位移分量：,,uvw应变分量：,,,,,xxyyzzxyyzzxεεεγγγ应力分量：,,,,,xxyyzzxyyzzxσσστττ基本方程：①平衡方程：000xyxxzxxyyxyyzyyzzxzzzbxyzbyxzbzyxτστσττττσ∂⎫∂∂+++=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪+++=⎬∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎪⎭②几何方程：xxyyzzyzyzzxuxvywzvuxywvyzwuxzεεεγγγ∂⎫=⎪∂⎪∂⎪=⎪∂⎪∂⎪=⎪∂⎪⎬∂∂⎪=+∂∂⎪⎪∂∂⎪=+⎪∂∂⎪∂∂⎪=+⎪∂∂⎭③物理方程：()()()111111xxxxyyzzyyyyxxzzzzzzxxyyxyxyyzyzzxzxEEEGGGεσμσσεσμσσεσμσσγτγτγτ⎫⎡⎤=−+⎪⎣⎦⎪⎪⎡⎤=−+⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=−+⎣⎦⎪⎬⎪=⎪⎪⎪=⎪⎪=⎪⎭④边界方程（BC）：位移边界条件B（u）：uuvvonSuww⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭力边界条件BC（p）：xxxxyyzxzxxyxyyyyzzyzxxyzyzzzznnnpnnnponSpnnnpστττστττσ⎫++=⎪⎪++=⎬⎪++=⎪⎭2D和3D情形的指标形式是统一的，在2D问题中（i,j）的变化（1，2）对应x轴和y轴；3D情形中（i,j）的变化为（1，2，3）对应x轴，y轴和z轴，则2D和3D的指标形式为：指标形式：基本变量：位移：iu应变：12ijijijijεεγ⎛⎞≠=⎜⎟⎝⎠当时，应力：ijσ基本方程：①平衡方程：,0iijjbσ+=②几何方程：(),,12ijijjiuuε=+③物理方程：1ijijklklDεσ−=④边界方程（BC）：位移边界条件BC（u）：iiuuonSu=力边界条件BC（p）：ijjinponSpσ=式中，2D情形中的变量对应关系为：位移：[][]12TTiuuuuv==应变：[]112212211122TijTxxyyxyyxεεεεεεεγγ=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦应力：[]11221221TijTxxyyxyyxσσσσσσσττ=⎡⎤=⎣⎦式中，2D情形中的变量对应关系为：位移：[][]123TTiuuuuuvw==应变：[]112233122331111222TijTxxyyzzxyyzzxεεεεεεεεεεγγγ=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦应力：[]112233122331TijTxxyyzzxyyzzxσσσσσσσσσστττ=⎡⎤=⎣⎦2．设平面问题的应力状态为：123xxaaxayσ=++456yyaaxayσ=++789xyaaxayτ=++其中ia为常数，若体积力为零，试讨论下列各种情况下平衡方程是否满足？若不能满足，则在ia之间需建立何种关系才能满足平衡方程？（1）除147aaa、、外，其余ia为零。（2）35890aaaa====（3）26890aaaa====（4）所有ia均为非零。解：体积力为零的情况下，平面问题的平衡方程为：00xyxxxyyxyybxybyxτσστ∂⎫∂++=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭在本题中，由于0xybb==，可以得出：296800aaaa+=⎧⎨+=⎩（1）除147aaa、、外，其余ia为零情况下，满足该平衡方程。（2）35890aaaa====时，还需要260aa==，才能满足平衡方程。（3）26890aaaa====时，满足平衡方程。（4）所有ia均为非零时，需要满足296800aaaa+=⎧⎨+=⎩，才能满足平衡方程。3．在体积力为零的情况下，下列应力为分布是否满足平衡条件（2D平面应力问题），描述就如图所示平面结构，该应力分布函数所表示的边界应力。1234524xxyyxyaaxaayaayaxσστ=+=+=−−题3图1解：若要满足平衡条件：00xyxxxyyxyybxybyxτσστ∂⎧∂++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩则可以得出()()224400aaaa+−=⎧⎪⎨+−=⎪⎩显然该应力分布满足平衡条件。在边界上的应力分布如下：①边界20,0~xyy==上：21520xxyxyaaayστ=⎧⎪⎨=−⎪⎩xxσxyτ题3图2yy2Oa5x2xxyτa5-a2y2yy2Oa1x2xxxσyY2②①x④X20③②边界220~,xxyy==上：23425220yyxxyaayaayxστ=+⎧⎪⎨=−−⎪⎩xxσxyτ题3图3③边界22,0~xxyy==上：212252042yyyxyaaxaayaxστ=+⎧⎪⎨=−−+⎪⎩xxσxyτ题3图4④边界20~,0xxy==上：23540yyxxyaaaxστ=⎧⎪⎨=−⎪⎩xxσxyτyy2Oa5x2xxyτ542aax−yy2Oa1x2xyyσ342aay+yy2Ox2xxyτyy2Oa1x2xyyσ342aay+yy2Oa1x2xxxσ122aax+yy2Oa1x2xyyσ342aay+题3图54.如图所示为一个正方形物体ABCD，其边长为1，在以下几种情形下作平面运动，试用位移场函数来描述，并求出ABCD其余个点在进行刚体运动后的具体位置。（1）物体ABCD被平移，平移后A点的坐标为（2，3）题4图由刚体位移可以得：()()()()12120000xxyyxyuxufyvvfxydfydfxvudydxxyεεγ⎧∂⎧==⎪⎪∂=⎪⎪⎪∂⎪==⇒=⎨⎨∂⎪⎪⎪⎪∂∂+==+=⎪⎪⎩∂∂⎩设()()210dfxdfywdxdy=−=，则有：()()()()200100,,fxwxvvxyfywyuuxy=+=⎧⎪⎨=+=⎪⎩令000,0,wv==则()()00,,0uxyuuxvxy=⎧⎪→⎨=⎪⎩为方向刚体平移令000,0,wu==则()()00,0,uxyvyvxyv=⎧⎪→⎨=⎪⎩为方向刚体平移令000,0,uv==则()()000,,uxywywvxywx=−⎧⎪→⎨=⎪⎩为小位移情况下的刚体平移转动平移时，00w=且A、B、C、D圆点地初始坐标分别：()(),0,0oAoAxy=，()()()()()(),1,0,,0,1,,1,1oBoBoCoCoDoDxyxyxy===平移后，A点坐标()(),2,3AAxy=,则11ABDCyx()(),202,303AAoAAoAoAoAAoAuxyxxvxyyy=−=−=⎧⎪⎨=−=−=⎪⎩平移时各点u、v相等，则B、C、D点各点坐标满足位移场函数()(),2,3uxyvxy=⎧⎪⎨=⎪⎩则B、C、D几点坐标分别为：()()()()()()()()()()()()00000000,,21,303,3,,20,312,4,,21,313,4BBBBccCCDDxyuxvyxyuxvyxyuxvy=++=++==++=++==++=++=(2)刚体绕(0,0)点发生转动时，刚体上某一点由(,)xy移动到(',')xy，有：2222222000''()()()(1)xyxyyxxyωωω+=−++=++，略去2阶小量20ω，有：222222''()()xyxyxuyv+=+=+++且有2200022''''xyyxyxxxyyxyωωω+−==++在完成第（1）步平移之后，物体中心移动到(2.5,3.5)，则有：2222(2.5)(3.5)(2.5)(3.5)xuyvxy+−++−=−+−记(3.5)(2.5)(3.5)(2.5)(2.5)(2.5)(3.5)(3.5)yvxyxutgxxuyyvθ+−−−−+−=−+−+−+−对A点：(,)(2,3)AAxy=，'2.1Ax=，则可求出'4.082.92Ay=或同理求出B点(',')(1.92,3.10)(3.08,3.10)BBxy=或再根据几何对称关系算出C，D点的位置。则昀终结果为：(2.1,4.08)(1.92,3.10)(3.08,3.90)(2.90,2.92)ABCD，或：(2.1,2.92)(3.08,3.10)(1.92,3.90)(2.90,4.08)ABCD（3）物体ABCD作刚体运动后，A点位置为(),AAuv，B点位置为(),BBuv,且有关系()()221ABABuuvv−+−=。解：直接由几何关系构造，记AB中点为M，ABCD中心为P，则MPAB⊥，且||0.5MP=P点坐标在刚体运动后为：22111(,)2211MMkuvkk±⋅⋅++m，其中：1()2MABuuu=+，1()2MABvvv=+，ABABvvkuu−=−则移动后的坐标：22111(,)2211BBkDuvkk⋅±⋅++m，22111(,)2211AAkCuvkk⋅⋅++mmABCD内任一点移动后的坐标为：((),())ABAACAuxuuvxvv+−+−5.一个立方块的弹性体放在同样大小的刚性盒内，其上面用刚性盖密闭后加均匀压力q，方块与盒盖之间无摩擦力，设加压方向为z轴，盒的侧面法向为x轴盒y轴，求弹性体的应力,,xyzσσσ和应变,,xyzεεε。解：由z方向的力边界条件有：zzzxzxyzyznnnpσττ⋅+⋅+⋅=方块与盒盖之间条件无摩擦力，则0yzxzxyτττ===，且知zpq=−，则zqσ=−。由于盒为刚性，则侧面无变形，即0xyεε==也即()()101101xxxyzyyxzyqEqEμσεσμσσμμεσμσσσμ⎧⎧=−⎡⎤=−+=⎪⎪⎣⎦−⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⎡⎤=−+==−⎣⎦⎪⎪⎩−⎩则()211212111zxyzqqqEEEμμμεσμσσμμμ⎡⎤⎛⎞⎛⎞+−⎡⎤=−+=⋅−−⋅−=⋅⋅⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎣⎦−−⎝⎠⎝⎠⎣⎦6．有一长方形的弹性体，其变形后的位移为：()()()()()()32113221312,,12,,12,,puxyzxbybzaEpvxyzybzbxaEpwxyzzbxbyaEμμμ−⎧=−+−+⎪⎪−⎪=−+−+⎨⎪⎪−=−+−+⎪⎩其中，1a、2a、3a、1b、2b、3b为常数，证明：该长方体只有体积改变，而无形状改变。若设长方体的原点无移动，体也无移动，求该体位移分量表达式中的各常数。解：（1）三个正应变分量为：()()()121212xxyyzzpuxEpvyEpwzEμεμεμε−⎧∂==−⎪∂⎪−⎪∂==−⎨∂⎪⎪−∂⎪==−∂⎩三个剪应变分量为：()331122000xyyzzxvubbxyvwbbzywubbxzγγγ∂∂⎧=+=−+=⎪∂∂⎪∂∂⎪=+=−=⎨∂∂⎪⎪∂∂=+=−=⎪∂∂⎩则,,xxyyzzεεε分别为三个主应变分量：()12312pEμεεε−===−体积应变：()