铭远教育-(历年真题)2013年浙江省专升本数学试卷及解析

浙江省2013年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设xxf2cossin，x，则此函数是（）A.有界函数B.奇函数C.偶函数D.周期函数2、若函数xfy是区间5,1上连续函数，则该函数一定（）A.在区间5,1上可积B.在区间5,1上有最小值C.在区间5,1上可导D.在区间5,1上有最大值3、0cosxdxx()A.0B.1C-1.D.-24、由曲线xy，xy所围成的平面图形的面积是（）A.32B.21C.61D.15、已知二阶微分方程xxeyyyxcossin362，则其特解形式为（）A.xbxaexsincos2B.xbxaex2sin2cos2C.xbxaxexsincos2D.xbxaxex2sin2cos2非选择题部分注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）6、极限._______sinlnlim20xxx7、函数xysin的定义域为.______8、已知11f，则._______11lim0xxfxfx9、若函数xyy由方程yxeysin1所确定，则._______y10、.________lnxxdx11、极限1sin3sin32sin21sin1lim2nnnnnn用定积分表示为._____12、级数1121nnnnx的收敛区间是.______13、常微分方程2yxQyxPy的通解为.______14、法向量为2,3,1a的过点1,0,1的平面方程是.______15、球面42222zyx与平面0262zyx之间的距离等于._______三、计算题（本大题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。计算题必须写出计算过程，只写答案的不给分）16、设,0,310,sin1sin3xxxxaxxexfx若xf是连续函数，求a的值.17、设0,00,21xxexfx，求.xf18、求函数xeyx2的单调区间以及凹凸区间.19、讨论方程xxcos132的根的个数.20、求.2sinxdxx21、计算.11ln210dxxx22、计算瑕积分.110xxdx23、将函数612xxxf展开成x的幂级数，并指出其收敛域.四、综合题（本大题共三题，每小题10分，共30分）24、证明：若xf是aa,上的连续函数，则.0,20为奇函数，若为偶函数若xfxfdttfdxxfaaa25、设tf是实的非负可积函数，若可积函数tx满足dssxsftx10，则.0tx26、若xf在0x的某个领域中有连续的一阶导数，00f，0f存在.证明：.061sinlim40fxxfxfx浙江省2013年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试《高等数学》试卷答案一、选择题1、A解析：.1,12cossin,1,12cos,xxx所以此函数是有界函数.2、A解析：根据函数在闭区间上连续，则此函数在此闭区间上一定可积.3、D解析：.20cos0sinsincos00xxxxxdxdxx4、C解析：.61012132223101010xxdxxdxxdxxx5、B解析：由题知：.2.3,2,06212rrrr.2sin2cos2xbxaeyx二、填空题6、0解析：.0121lim1lnlimsinlnlim2202020xxxxxxxxxx7、12,2kkzk解析：,0sinx.,122zkkxk8、0解析：.211lim11lim11lim000xfxfxfxfxxfxfxxx9、xxeexxcos1sinsin解析：隐函数求导：yyxeeyyycossinsin.cos1sinsinyxeeyyy10、Cxlnln解析：.lnlnlnln1lnCxxdxxxdx11、10sinxdxx解析：1sin3sin32sin21sin1lim2nnnnnn.sin1limsin1lim2nininniinnn.,321xnii为为、、令10.sinxdxx12、1,1解析：11limlim1nnaaRnnnn,1x收敛区间1,1-13、dxxPdxxPeCexQy-1解析：2yxQyxpy,112xQxPyyyxQxPyy11.1CdxexQeydxxPdxxP14、0323zyx解析：0120311zyx设方程为：.0323zyx15、264解析：.2,2,0,0R半径球心.64112262222d球心到平面的距离.264d球面到平面的距离三、计算题16、解：由题意知，有,31lim0xfx而3233203233220031lim61211limlimxxxaxxxxxxxaxxxxxxxfxxx所以.1a17、解：由,0,00,21xxexfx得当0x时，;01lim;021limlim;1limlim0lim0222221010100xxxxxxxxxxxexxeexexxexfxff当0x时，.2213xexxf所以.0,00,2213xxexxfx18、解：212xxy，令0y，则0,21xx为驻点；,244232xexxxy令0y，则0x为驻点列表1如下：x0,021,021,21yy递减递减递增列表2如下：x0,0,0yy凸凹综上所述：原函数的单调递减区间是21,00,；单调递增区间是.,21原函数的凸区间是0,；凹区间是,0.19、令,cos132xxxf则.sin6xxxf由,0xf得.0x当0x时，;0xf则xf在,0上是递增；当0x时，0xf；则xf在0,上是递减；由xfxlim，20f，所以xf有两个根.20、解：.2cos212sin412cos212cos212cos212sinCxxxxdxxxxxdxdxx21、.2ln011ln1ln111ln211ln2221021010xxdxdxxdxxx22、,12lim1lim112121021121010dxxdxxxxxdx设tx21，则.21ln211ln2lim112lim12012010ttdttxxdx23、解：.31215133122151313121215131215123101100nnnnnnnnnxxxxxxxxxxf收敛域为.2xx四、综合题24、证明：若xf是aa,上连续的偶函数，则xfxf，由,00dxxfdxxfdxxfaaaa对应第一个积分，令tx，则,00aaoadttftdtfdxxf所以.20dxxfdxxfaaa若xf是aa,上连续的奇函数，则xfxf，由,00dxxfdxxfdxxfaaaa对应第一个积分，令tx，则,000dttftdtfdxxfaaa所以.0dxxfaa综上所述：.,0,20为奇函数若为偶函数若xfxfdttfdxxfaaa25、证明：可以验证.000tdssftdsesxsf可得.00dssxsftxt26、证明：中值定理，存在xxs,sin，使,sinsinxxsfxfxf则.sinsin34xxxxsssfxxfxf由洛必达法则，有,61sinlim30xxxx又因为1sinxsxx，所以由1sinlim0xxx，得到1lim0xsx所以,00limlim00fsfsfssfxx则.061sinlim0fxxfxfx.