(新课标)高中数学《3.3.2-函数的极值与导数》课件-新人教A版选修1-1

3.3.2函数的极值与导数【课标要求】1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．【核心扫描】1．求解函数的极大值点、极小值点、极大值与极小值．(重难点)2．有关极值的正向或逆向问题的考查．(难点)自学导引1．极值点与极值(1)极小值与极小值点如图，若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)0f′(x)0(2)极大值与极大值点如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则把点b叫做函数y＝f(x)的，f(b)叫做函数y＝f(x)的，极小值点、极大值点统称为，极大值和极小值统称为．f′(x)0f′(x)0极大值点极大值极值点极值想一想：若求得某点处的导数值为0，此点一定是极值点吗？提示一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零，还要判断函数在此点附近左右两侧的单调性，只有单调性相反，才能作为函数的极值点，单调性一致时，不能作为极值点，如f(x)＝x3，x＝0就不是极值点．2．求函数f(x)极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么，f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么，f(x0)是极小值．想一想：极值点与单调区间有什么关系？提示极大值点可以看成函数单调递增区间过渡到递减区间的转折点，极小值点可以看成函数单调递减区间过渡到单调递增区间的转折点．名师点睛1．正确理解函数极值的概念(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．2．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是函数的极值点．(2)导数为0的点可能是函数的极值点，如y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值．导数为0的点也可能不是函数的极值点，如y＝x3，y′(0)＝0，x＝0不是极值点．题型一求函数的极值【例1】求下列函数的极值．(1)f(x)＝3x＋3lnx；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.[思路探索]求出f′(x)和使f′(x)＝0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧的单调性，进而判断极值．解(1)函数f(x)＝3x＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3（x－1）x2，令f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值3因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.(2)函数的定义域为R.f′(x)＝2（x2＋1）－4x2（x2＋1）2＝－2（x－1）（x＋1）（x2＋1）2.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)－3－1由上表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.规律方法求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表．解题时注意导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，则不是极值．【变式1】求函数y＝x4－4x3＋5的极值．解y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)，令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，3)3(3，＋∞)y′－0－0＋y不是极值极小值－22故当x＝3时函数取得极小值，且y极小值＝f(3)＝－22.题型二已知极值求参数值【例2】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．[思路探索]先求f′(x)，再由函数f(x)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1建立关于a，b，c的方程组．求出a，b，c值，再由判定极值的方法判定其极值情况．解(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数f(x)的极值点，∴x＝±1是方程f′(x)＝0的两根，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得－2b3a＝0，①c3a＝－1②又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.(2)f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)，当x－1或x1时，f′(x)0，当－1x1时，f′(x)0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数，∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.规律方法已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．【变式2】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知当x＝－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求a、b、c的值．解f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∵x＝－1时函数取得极大值，x＝3时函数取得极小值．∴－1，3是方程f′(x)＝0的根，即为方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根．由一元二次方程根与系数的关系有－1＋3＝－2a3，（－1）×3＝b3.∴a＝－3，b＝－9.∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.∵x＝－1时取得极大值7，∴(－1)3－3(－1)2－9(－1)＋c＝7.∴c＝2.∴函数f(x)的极小值为f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25，a＝－3，b＝－9，c＝2.题型三极值的综合应用【例3】(12分)设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．审题指导(1)依据求函数极值的方法求解．(2)根据极值大小分析函数图象情况，据此可求出实数a的值．[规范解答](1)令f′(x)＝－3x2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1.(2分)又因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1，－1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.(4分)所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，f(x)的极大值为f(1)＝a＋2.(6分)(2)因为f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞；而a＋2a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，(8分)如图(1)，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－2.(10分)如图(2)，当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2.综上，当a＝2，或a＝－2时方程恰有两个实数根．(12分)【题后反思】用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定函数的图象与x轴的交点个数．【变式3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.因为当x＞2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－42.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的大致走向如图所示，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实数根．误区警示因误认为导数为零的点就是极值点而导致错误【示例】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求常数a，b的值．[错解]∵f(x)在x＝－1处有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，∴f′（－1）＝0，f（－1）＝0，即3－6a＋b＝0，－1＋3a－b＋a2＝0，解得a＝1，b＝3，或a＝2，b＝9.因此常数a＝1时，b＝3；a＝2时，b＝9.根据极值定义，函数先减后增为极小值，先增后减为极大值，此题未验证x＝－1两侧导数f′(x)的符号而致错．[正解]∵f(x)在x＝－1处有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，∴f′（－1）＝0，f（－1）＝0.即3－6a＋b＝0，－1＋3a－b＋a2＝0，解之得a＝1，b＝3，或a＝2，b＝9.当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0.∴f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1处取得极小值，因此a＝2，b＝9.对于可导函数，极值点导数为零，但导数为0的点不一定是极值点，因此已知函数的极值点，求某些参变量的值时，应验证能否使函数取到极值，否则易出现错解．