1.3.2-函数的极值与导数

1.3.2函数的极值与导数aoht'0haht问题：如图表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数的图象2()4.96.510httt单调递增单调递减0)(th0)(th归纳:函数在点处,在的附近,当时,函数h(t)单调递增，;当时,函数h(t)单调递减,。()htata0)(ahatat0)(th0)(thyxaobyfx（3）在点附近,的导数的符号有什么规律?,abyfx（1）函数在点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?yfx,ab（2）函数在点的导数值是多少?yfx,ab(图一)问题：0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bfyxaobyfx(图一)0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bf极大值f(b)点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.极小值f(a)思考：极大值一定大于极小值吗？xyyfxohgfedc(图二)（1）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。（2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不可能成为极值点。yfx6x5x4x3x2x1xabxy（1）如图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？o（2）如果把函数图象改为导函数的图象?'yfxyfxyfx答：'yfx1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。导数值为0的点一定是函数的极值点吗?导数值为0的点一定是函数的极值点吗?是为可导函数的极值点的必要不充分条件。0)(af()yfxxaxyOy=x3ycxyO下面分两种情况讨论:（1）当，即x＞2,或x＜-2时;（2）当，即-2＜x＜2时。例4：求函数的极值.31443fxxx31443fxxx'2422fxxxx'0fx'0,fx解:∵∴'0fx当x变化时，的变化情况如下表：',fxfxx'fxfx,22,22,28343∴当x=-2时,f(x)的极大值为28(2)3f423f令解得x=2,或x=-2.0022单调递增单调递增单调递减当x=2时,f(x)的极小值为22求函数y=f(x)的极值的步骤:(1):如果在x0附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0,(2):如果在x0附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0,2.解方程f/(x)=0；1.确定定义域；3.列表；4.结论：那么f(x0)是极大值;那么f(x0)是极小值.巩固练习：1、求函数的极值33fxxx解:∵∴令，得，或下面分两种情况讨论：（1）当，即时；（2）当，即，或时。当变化时，的变化情况如下表：33fxxxx'fxfx,11,11,20011单调递增单调递减单调递减∴当时,有极小值，并且极小值为2.'0fx当时,有极大值，并且极大值为'233fxx'2330fxx1x1.x'0fx11x1x1x2)(xf)(xf2.1x1xx',fxfx巩固练习：2、求函数的单调区间与极值lnfxxx思考：已知函数在处取得极值求函数的解析式322fxaxbxx2,1xxfxfx解：∵在取得极值，∴即解得∴'2322fxaxbx2,1xx124203220abab11,32ab3211232fxxxx0)1(,0)2(ff课外练习:1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为.21aa或2.已知函数其中323()43coscos,16fxxx,02xR为参数，且(1)当时,判断函数是否有极值cos0()fx(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围()fx求函数y=f(x)的极值的步骤:(1):如果在x0附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0,(2):如果在x0附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0,2.解方程f/(x)=0；1.确定定义域；3.列表；4.结论：那么f(x0)是极大值;那么f(x0)是极小值.小结：（1）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。（2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不可能成为极值点。（5）是为可导函数的极值点的必要不充分条件。0)(af()yfxxa