“隔板法”解决排列组合问题

“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图001000010000100隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166CC种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411CC=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C种。（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410CC种。法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有3510C由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。例2、（1）方程123410xxxx的正整数解有多少组？(2)方程123410xxxx的非负整数解有多少组？（3）方程1231023xxxx的非负整数整数解有多少组？解：（1）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有3984C种，所以该方程有84组正整数解。（2）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，可以有空盒，先给每个小盒装一个，进而转化为14个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有313286C种，所以该方程有286组非负整数整数解。（3）当10x时，转化为3个相同的小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有311165C种。当11x时，转化为1个小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有19C=9种；所以该方程有165+9=174组非负整数整数解。例3、已知集合，选择的两个非空子集,AB，且A中最大的元素比B中最小的元素小，则选择方法有多少种？解：由题意知,AB的交集是空集，且,AB的并集是的子集C，所以C至少含有两个元素，将C中元素按从小到大的顺序排列，然后分为两部分，前边的给A，后边的给B，,AB至少含有1个元素，设C中有n个元素，则转化为n个相同的小球装入2个不同的盒子，则有1nC种装法，故本题有2314151552535449CCCCCCC种选择方法。总之，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”。若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目为0个时，向每组元素数目至少一个的模型转化，然后用“隔板”法加以解决。