第三章导数及其应用33导数的实际应用

重点难点重点：利用导数解决实际问题中的优化问题难点：如何建立数学模型，借助导数求最值知识归纳利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．误区警示(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．(3)生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间．[例1]统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝1128000x3－380x＋8(0x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解析：(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，耗油1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为f(x)升．依题意得f(x)＝1128000x3－380x＋8·100x＝11280x2＋800x－154(0x≤120)，f′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0x≤120)．令f′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，f′(x)0，f(x)是减函数；当x∈(80,120]时，f′(x)0，f(x)是增函数．∴当x＝80时，f(x)取到极小值f(80)＝11.25(升)．因为f(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．某工厂设计一个密闭容器，下部是圆柱体形，上部是半球形，容积为常数V，当圆柱的底半径r与高h为何值时，制造这个容器的用料最省？解析：23πr3＋πr2h＝V①∴43πr2＋2πrh＝2Vr，S＝5πr23＋2Vr，由S′＝10πr3－2Vr2＝0得，r＝33V5π代入①中得h＝r＝33V5π，∴当h＝r＝33V5π时用料最省.[例2]某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－13x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？(注：收益＝销售额－投入)．解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万元．即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)，则有g(x)＝(－13x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－13x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝0解得x＝－2(舍去)或x＝2，当0≤x2时，g′(x)0，当2x≤3时，g′(x)0，故g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数．所以当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与日产量x(x∈N*)件之间的关系为P＝4200－x24500，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)问该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．解析：(1)∵y＝4000×4200－x24500×x－2000(1－4200－x24500)2·x＝3600x－43x3.∴所求的函数关系式是y＝－43x3＋3600x(x∈N*,1≤x≤40)．(2)由(1)知y′＝3600－4x2.令y′＝0，解得x＝30.∴当1≤x30时，y′0；当30x≤40时，y′0.∴函数y＝－43x3＋3600x(x∈N*,1≤x≤40)在[1,30]上是单调递增函数，在[30,40]上是单调递减函数．∴当x＝30时，函数y＝－43x3＋3600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值，最大值为－43×303＋3600×30＝72000(元)．∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大值为72000元.[例3]如图所示，有一块半椭圆形钢板，长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.(1)求面积S关于自变量x的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值．[解析](1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O－xy(如图)，则点C的横坐标为x、纵坐标y满足方程x2r2＋y24r2＝1(y≥0)，解得y＝2r2－x2(0xr)，S＝12(2x＋2r)×2r2－x2＝2(x＋r)·r2－x2，其定义域为{x|0xr}．(2)记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0xr，则f′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．令f′(x)＝0，得x＝12r.因为当0xr2时，f′(x)0，当r2xr时，f′(x)0，所以f12r是f(x)的最大值．因此，当x＝12r时，S也取得最大值，最大值为f12r＝332r2，即梯形面积S的最大值为332r2.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则矩形的面积最大时，矩形的边长为________．解析：设矩形边长AD＝2x，则|AB|＝y＝4－x2.则矩形面积为S＝2x(4－x2)(0＜x＜2)．即S＝8x－2x3，所以S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x1＝23，x2＝－23(舍去)．当x＜23，S′＞0；当x＞23时，S′＜0，所以当x＝23时，S取得最大值，此时，S最大值＝3239，y＝83，即矩形的边长分别为433和83时，矩形的面积最大．答案：433和83[例4]苏南某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注．据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－18t3－34t2＋36t－62946≤t＜9；t8＋5549≤t≤10；－3t2＋66t－34510＜t≤12求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．解析：(1)当6≤t9时，y′＝－38t2－32t＋36＝－38(t＋12)(t－8)．令y′＝0得，t＝－12或t＝8.当6≤t8时，y′0，当8t9时，y′0，所以，当t＝8时，y有最大值．ymax＝18.75(分钟)．(2)当9≤t≤10时，y＝18t＋554是增函数，∴当t＝10时，ymax＝15(分钟)．(3)当10t≤12时，y＝－3(t－11)2＋18，∴当t＝11时，ymax＝18(分钟)．综上所述，上午8时进入该路段，通过该路段用时最多，为18.75分钟．一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇334km处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？分析：如图，设BC为海岸线，A为渔艇停泊处，设D为海岸线上一点，CD＝x，只需将时间T表示为x的函数，即可确定登岸的位置．解析：∵AB＝9，AC＝334，BC＝AC2－AB2＝15，设CD＝x，由A到C所需时间为T，则T＝15x＋1415－x2＋81(0≤x≤15)，T′＝15－15－x415－x2＋81.令T′＝0，解得x＝3.在x＝3附近，T′由负到正，因此在x＝3处取得极小值．又T(0)＝3344，T(15)＝214，T(3)＝8720，比较可知T(3)最小．答：在距渔站3km处登岸可使抵达渔站的时间最省．一、选择题1．正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A.3VB.32VC.34VD．23V[答案]C[解析]设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积V＝34a2h，∴h＝4V3a2，表面积S＝32a2＋3ah＝32a2＋43Va，由S′＝3a－43Va2＝0，得a＝34V，故选C.2．(文)(2010·烟台市诊断)曲线y＝2cosx在x＝π4处的切线方程是()A．x－y－4＋π4＝0B．x＋y＋4－π4＝0C．x＋y－4＋π4＝0D．x＋y＋4＋π4＝0[答案]C[解析]y′|x＝π4＝－2sinx|x＝π4＝－2sinπ4＝－1，∴切线方程为y－2cosπ4＝－x－π4，即x＋y－1－π4＝0，故选C.(理)(2010·山东济南市模考)直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b的值为()A．－3B．9C．－15D．－7[答案]C[解析]将点(2,3)分别代入曲线y＝x3＋ax＋1和直线y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.又k＝y′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，∴b＝3－2k＝3－18＝－15，故选C.3．函数y＝x＋2cosx在0，π上取得最大值时，x的值为()A．0B.π6C.5π6D．π[答案]B[解析]y′＝1－2sinx，令1－2sinx＝0，∵x∈0，π，∴x＝π6或5π6，当x∈0，π6时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，当x∈π6，5π6时f′(x)≤0，f(x)单调递减，当x∈5π6，π时，f′(x)≥0，f(x)单调递增．∵fπ6＝π6＋2cosπ6＝π6＋3，f(π)＝π＋2cosπ＝π－2，且π－2π6＋3，∴f(x)max＝fπ6.二、填空题4．某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．[答案]16m8m[解析]解：设场地宽为xm，则长为128xm，因此新墙总长度为y＝2x＋128x(x＞0)，y′＝2－128x2，令y′＝0，∵x0，∴x＝8.因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m.即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省．5．(文)在周长为l的矩形中，面积的最大值为________．[答案]l216[解析]设一边长为x，则另一边长为12(l－2x)，其面积S＝12x(l－2x)(0xl2)，由S′＝12l－2x＝0得x＝l4，此时S＝l216.(理)面