模块复习课-第1课时-利用导数研究函数的单调性、极值与最值

-1-第1课时利用导数研究函数的单调性、极值与最值课前篇基础梳理知识网络要点梳理导数及其应用导数及其应用导数的概念导数概念的实际背景导数的定义导数的①意义导数的运算导数公式导数的②法则简单复合函数求导导数的应用研究函数的③研究函数的④研究函数的⑤生活中的优化问题定积分与微积分基本定理定积分的概念曲边梯形的⑥与汽车行驶的⑦定积分的⑧微积分基本定理定积分的应用定积分在⑨中的应用定积分在⑩中的应用填一填:①几何②运算③单调性④极值⑤最大(小)值⑥面积⑦路程⑧定义⑨几何⑩物理课前篇基础梳理知识网络要点梳理1.函数的平均变化率(1)概念:对于函数y=f(x),式子叫做函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.(2)几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.(3)物理意义:函数s=s(t)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[t1,t2]上的平均速度.Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(𝑥2)-𝑓(𝑥1)𝑥2-𝑥1课前篇基础梳理知识网络要点梳理2.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数①定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|𝑥=𝑥0,即f'(x0)=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥.②几何意义函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).(2)函数f(x)的导函数称函数f'(x)=limΔ𝑥→0𝑓(𝑥+Δ𝑥)-𝑓(𝑥)Δ𝑥为f(x)的导函数.课前篇基础梳理知识网络要点梳理3.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xa(a∈Q*)f'(x)=axa-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a0,且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a0,且a≠1)f'(x)=1𝑥ln𝑎f(x)=lnxf'(x)=1𝑥课前篇基础梳理知识网络要点梳理4.导数的运算法则和复合函数的导数(1)导数的运算法则①[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);②[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);③𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)'=𝑓'(𝑥)𝑔(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑔'(𝑥)[𝑔(𝑥)]2(g(x)≠0).(2)复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.课前篇基础梳理知识网络要点梳理5.函数的单调性与导数(1)函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,①若f'(x)0,则f(x)在这个区间内单调递增;②若f'(x)0,则f(x)在这个区间内单调递减;③若恒有f'(x)=0,则f(x)在这个区间内为常函数.(2)单调性的应用若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f'(x)在该区间上不变号.课前篇基础梳理知识网络要点梳理6.函数的极值与导数(1)函数极小值的概念满足①函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小;②f'(a)=0;③在点x=a附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0;则点x=a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数极大值的概念满足①函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大;②f'(b)=0;③在点x=b附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0;则点x=b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值;极小值点与极大值点统称为极值点,极小值与极大值统称为极值.课前篇基础梳理知识网络要点梳理(3)求可导函数极值的步骤①求导数f'(x);②求方程f'(x)=0的根;③列表,检验f'(x)在方程f'(x)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果左正右负(左增右减),那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正(左减右增),那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.课前篇基础梳理知识网络要点梳理7.函数的最值与导数求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.8.利用导数解决实际生活中的优化问题(1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出相应的函数关系式y=f(x)并确定定义域;(2)求导数f'(x),解方程f'(x)=0;(3)判断使f'(x)=0的点是极大值点还是极小值点;(4)确定函数的最大值或最小值,还原到实际问题中作答.课堂篇专题整合专题归纳高考体验专题一导数的几何意义及其应用例1已知函数y=x3-x,(1)求函数图象在点(1,0)处的切线方程;(2)求函数图象上过点(1,0)的切线方程.分析:利用切点的三个等量关系求解.解:(1)函数y=x3-x的图象在点(1,0)处的切线斜率为k=y'|x=1=(3x2-1)|x=1=2,所以函数的图象在点(1,0)处的切线方程为y=2x-2.课堂篇专题整合专题归纳高考体验(2)设函数y=x3-x图象上切点的坐标为P(x0,𝑥03-x0),则切线斜率为k=y'|𝑥=𝑥0=3𝑥02-1,切线方程为y-(𝑥03-x0)=(3𝑥02-1)(x-x0).由于切线经过点(1,0),所以0-(𝑥03-x0)=(3𝑥02-1)(1-x0),整理,得2𝑥03-3𝑥02+1=0,即2(𝑥03-1)-3(𝑥02-1)=0,所以2(x0-1)(𝑥02+x0+1)-3(x0+1)(x0-1)=0,所以(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=1或x0=-12.所以P(1,0)或P-12,38,所以切线方程为y=2x-2或y=-14x+14.课堂篇专题整合专题归纳高考体验反思感悟利用导数的几何意义的解题策略1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点.2.围绕切点有三个等量关系:一是切点在曲线上;二是切点在切线上;三是在切点处的导数等于切线的斜率.这三个等量关系在求解参数问题中经常用到.课堂篇专题整合专题归纳高考体验变式训练1设函数f(x)=4x2-lnx+2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.解:f'(x)=8x-,所以在点(1,f(1))处切线的斜率k=f'(1)=7,又f(1)=4+2=6,所以切点的坐标为(1,6),所以切线的方程为y-6=7(x-1),即y=7x-1.1𝑥课堂篇专题整合专题归纳高考体验专题二利用导数判断函数的单调性例2已知函数f(x)=ex(ax2+x+a).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)≤ex(ax2+2x)+1恒成立,求实数a的取值范围.分析:(1)对f(x)求导,得到f'(x)=0时的两根,然后对两根的大小,结合a的正负进行分类讨论,得到导函数值的正负,然后得到原函数的单调区间;(2)对恒成立问题进行参变分离,得到a≤x+,即求不等号右边函数的最小值,从而得到a的取值范围.1𝑒𝑥课堂篇专题整合专题归纳高考体验解:(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex(ax+a+1)(x+1).①当a=0时,f'(x)=ex(x+1),所以函数f(x)在(-∞,-1)单调递减,在(-1,+∞)单调递增;②当a≠0时,f'(x)=aex𝑥+𝑎+1𝑎(x+1),且方程f'(x)=0有两根为-1,-𝑎+1𝑎;当a0时,-1-𝑎+1𝑎,所以函数f(x)在-𝑎+1𝑎,-1单调递减,在-∞,-𝑎+1𝑎,(-1,+∞)单调递增;当a0时,-1-𝑎+1𝑎,所以函数f(x)在(-∞,-1),-𝑎+1𝑎,+∞单调递减,在-1,-𝑎+1𝑎单调递增.课堂篇专题整合专题归纳高考体验综上,当a=0时,函数f(x)在(-∞,-1)单调递减,在(-1,+∞)单调递增;当a0时,函数f(x)在-𝑎+1𝑎,-1单调递减,在-∞,-𝑎+1𝑎,(-1,+∞)单调递增;当a0时,函数f(x)在(-∞,-1),-𝑎+1𝑎,+∞单调递减,在-1,-𝑎+1𝑎单调递增.课堂篇专题整合专题归纳高考体验(2)函数f(x)≤ex(ax2+2x)+1恒成立,即aex≤exx+1,即a≤x+1e𝑥,设函数g(x)=x+1e𝑥,则g'(x)=1-1e𝑥=e𝑥-1e𝑥,令g'(x)=0,解得x=0,所以函数g(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,所以函数g(x)的最小值g(x)min=1,所以a≤𝑥+1e𝑥min=1,所以a的取值范围是(-∞,1].课堂篇专题整合专题归纳高考体验反思感悟借助导数研究函数的单调性,尤其是研究含有lnx,ex等线性函数(或复合函数)的单调性是近几年高考的一个重点.其特点是导函数f'(x)的符号一般由二次函数来确定,经常同一元二次方程、一元二次不等式结合,集分类讨论、数形结合于一体.课堂篇专题整合专题归纳高考体验变式训练2讨论函数f(x)=x-2𝑥+a(2-lnx)(a0)的单调性.解:由题知,f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=1+2𝑥2−𝑎𝑥=𝑥2-𝑎𝑥+2𝑥2.设g(x)=x2-ax+2,一元二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8.①当Δ0即0a22时,对一切x0都有f'(x)0,此时f(x)是(0,+∞)内的单调递增函数.②当Δ=0即a=22时,仅对x=2,有f'(x)=0,对其余的x0都有f'(x)0,此时f(x)也是(0,+∞)上的单调递增函数.③当Δ0即a22时,方程g(x)=0有两个不同的实根x1=𝑎-𝑎2-82,x2=𝑎+𝑎2-82,0x1x2.课堂篇专题整合专题归纳高考体验当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗此时f(x)在0,𝑎-𝑎2-82内单调递增,在𝑎-𝑎2-82,𝑎+𝑎2-82内单调递减,在𝑎+𝑎2-82,+∞内单调递增.综上,当0a≤22时,f(x)在(0,+∞)是增函数;当a22时,f(x)在0,𝑎-𝑎2-82,𝑎+𝑎2-82,+∞内是增函数,在𝑎-𝑎2-82,𝑎+𝑎2-82内是减函数.课堂篇专题整合专题归纳高考体验专题三利用导数求函数的极值和最值例3已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.(1)设a=1,求函数f(x)的极值;(2)若,且当x∈[1,4a]时,|f'(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围.分析:(1)先求f'(x)=0的根,再根据极值的定义求解.(2)先求f'(x)的最值,再根据|f'(x)|≤12a列不等式求解.a14课堂篇专题整合专题归纳高考体验解:(1)当a=1时,f(x)=x3-3x2-9x+1,且f'(x)=3x2-6x-9,由f'(x)=0得x=-1或x=3.当x-1时,f'(x)0,当-1x3时,f'(x)0,因此x=